2.4 Conservation de la quantit´ e de mouvement
23
ρ
훀 ∂ V
∂t
+ V · ∇V
= f + ∇ · σ
ρ
∂ V
∂t
+
1
2
∇V
2
+ ∇ × V × V
= f + ∇ · σ
2.4.4 Lois de comportement
L’´ equation locale du mouvement d’un milieu continu ρ
dV
dt = f + ∇ · σ et
l’´ equation locale de continuit´ e
∂ ρ
∂t + ∇ · (ρV) = 0 fournissent 4 ´
equations pour 10
inconnues :
• les 3 composantes du vecteur des vitesses,
• les 6 composantes ind´ ependantes du tenseur de Cauchy,
• la masse volumique.
Les ´
equations g´ en´ erales que nous avons ´
ecrites sont donc insuffisantes pour permettre la r´ esolution des probl` emes de m´ ecanique des milieux continus. Les milieux
continus ont des comportements tr` es diff´ erents qu’il importe de pr´ eciser.
Pour un milieu d´ etermin´ e le tenseur des contraintes et le champ des vitesses ne
sont pas ind´ ependants et plus pr´ ecisemment les diff´ erents milieux continus peuvent
ˆ
etre caract´ eris´ es par des relations liant les contraintes et les d´ eformations ou vitesses
de d´ eformation.
On dit que chaque milieu ob´ eit `
a des lois de comportement ou lois rh´ eologiques
[12]. Ce qui distingue un milieu d´ eformable c’est que la distance entre 2 points
quelconques du milieu n’est plus constante dans le temps. Il s’agit de caract´ eriser
cette propri´ et´ e de d´ eformabilit´ e.
Il existe 2 approches diff´ erentes [26] :
• La premi` ere, adapt´ ee `
a la m´ ecanique du solide, consiste `
a se r´ ef´ erer `
a une situation initiale ; on aboutit `
a la notion de tenseur des d´ eformations.
• La seconde, adapt´ ee `
a la m´ ecanique des fluides, consiste `
a ´
evaluer la vitesse
de d´ eformation instantan´ ee. On aboutit `
a la notion de tenseur des taux de
d´ eformation (ou vitesses de d´ eformation).
2.4.5 Tenseur des vitesses de d´ eformation
Soit V(M) le champ des vitesses `
a l’instant t d’un continu et dv un petit ´
el´ ement de
volume (Fig. 2.9).
V(M
�
) = V(M) + dV
MM
�
= dM
23
ρ
훀 ∂ V
∂t
+ V · ∇V
= f + ∇ · σ
ρ
∂ V
∂t
+
1
2
∇V
2
+ ∇ × V × V
= f + ∇ · σ
2.4.4 Lois de comportement
L’´ equation locale du mouvement d’un milieu continu ρ
dV
dt = f + ∇ · σ et
l’´ equation locale de continuit´ e
∂ ρ
∂t + ∇ · (ρV) = 0 fournissent 4 ´
equations pour 10
inconnues :
• les 3 composantes du vecteur des vitesses,
• les 6 composantes ind´ ependantes du tenseur de Cauchy,
• la masse volumique.
Les ´
equations g´ en´ erales que nous avons ´
ecrites sont donc insuffisantes pour permettre la r´ esolution des probl` emes de m´ ecanique des milieux continus. Les milieux
continus ont des comportements tr` es diff´ erents qu’il importe de pr´ eciser.
Pour un milieu d´ etermin´ e le tenseur des contraintes et le champ des vitesses ne
sont pas ind´ ependants et plus pr´ ecisemment les diff´ erents milieux continus peuvent
ˆ
etre caract´ eris´ es par des relations liant les contraintes et les d´ eformations ou vitesses
de d´ eformation.
On dit que chaque milieu ob´ eit `
a des lois de comportement ou lois rh´ eologiques
[12]. Ce qui distingue un milieu d´ eformable c’est que la distance entre 2 points
quelconques du milieu n’est plus constante dans le temps. Il s’agit de caract´ eriser
cette propri´ et´ e de d´ eformabilit´ e.
Il existe 2 approches diff´ erentes [26] :
• La premi` ere, adapt´ ee `
a la m´ ecanique du solide, consiste `
a se r´ ef´ erer `
a une situation initiale ; on aboutit `
a la notion de tenseur des d´ eformations.
• La seconde, adapt´ ee `
a la m´ ecanique des fluides, consiste `
a ´
evaluer la vitesse
de d´ eformation instantan´ ee. On aboutit `
a la notion de tenseur des taux de
d´ eformation (ou vitesses de d´ eformation).
2.4.5 Tenseur des vitesses de d´ eformation
Soit V(M) le champ des vitesses `
a l’instant t d’un continu et dv un petit ´
el´ ement de
volume (Fig. 2.9).
V(M
�
) = V(M) + dV
MM
�
= dM