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2 Equations de conservation
R´ esultat qui se conserve si M → P de telle sorte que
T i (P, n) = σ i j (P)n j
σ i j sont les composantes du tenseur des contraintes en P
forme tensorielle T(P, n) = σ (P) · n
forme matricielle {T } = (σ ){n}
forme indicielle T = T i n j e i
2.4.3 Equation locale du mouvement
La loi fondamentale de la dynamique s’exprime par
Ω
ρ γ dv =
Ω
f dv +
Σ
T ds
que l’on peut aussi ´
ecrire
Ω
ρ γ dv =
Ω
f dv +
Σ
σ · n ds
Le th´ eor` eme de la divergence nous permet d’´ ecrire
Ω
ρ γ dv =
Ω
f dv +
Ω
∇ · σ dv
ou dans le syst` eme d’axes Ox 1 x 2 x 3 :
Ω
ρ γ i dv =
Ω
f i dv +
Ω
∂ σ i j
∂ x j
dv
Comme le domaine `
a int´ egrer est arbitraire et les fonctions continues on en d´ eduit
la premi` ere loi de Cauchy :
ργ = f + ∇ · σ
qui est l’´ equation locale du mouvement
Soit en projection
ρ γ i = f i +
∂ σ i j
∂ x j
Soit en variables d’Euler :
ρ
∂V i
∂t
+V j
∂V i
∂ x j
= f i +
∂ σ i j
∂ x j