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2 Equations de conservation
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
T(M, e 1 ) = σ 11 e 1 + σ 21 e 2 + σ 31 e 3
T(M, e 2 ) = σ 12 e 1 + σ 22 e 2 + σ 32 e 3
T(M, e 3 ) = σ 13 e 1 + σ 23 e 2 + σ 33 e 3
soit
T(M, e j ) = σ i j e i
ce qui d´ efinit les 9 scalaires
On notera par exemple que σ 11 d´ esigne la contrainte normale pour la direction e 1
et σ 21 et σ 31 les composantes de la contrainte tangentielle pour cette mˆ eme direction
(Fig. 2.7).
Fig. 2.7 Facettes du volume de contrˆ ole ´
el´ ementaire sur lequel s’exerce des contraintes normales
et tangentielles
D’une mani` ere g´ en´ erale σ i j est la contrainte suivant e i pour une facette normale
`
a e j :
contrainte normale `
a
e 1 e 2 e 3
e 1 σ 11 σ 12 σ 13
contrainte e 2 σ 21 σ 22 σ 23
suivant e 3 σ 31 σ 32 σ 33
Le probl` eme est maintenant de savoir comment s’exprime la contrainte relative
`
a une facette dont la normale a une direction quelconque.
On consid` ere l’´ equilibre d’un t´ etra` edre infiniment petit PA 1 A 2 A 3 (Fig. 2.8)
On pose
2 Equations de conservation
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
T(M, e 1 ) = σ 11 e 1 + σ 21 e 2 + σ 31 e 3
T(M, e 2 ) = σ 12 e 1 + σ 22 e 2 + σ 32 e 3
T(M, e 3 ) = σ 13 e 1 + σ 23 e 2 + σ 33 e 3
soit
T(M, e j ) = σ i j e i
ce qui d´ efinit les 9 scalaires
On notera par exemple que σ 11 d´ esigne la contrainte normale pour la direction e 1
et σ 21 et σ 31 les composantes de la contrainte tangentielle pour cette mˆ eme direction
(Fig. 2.7).
Fig. 2.7 Facettes du volume de contrˆ ole ´
el´ ementaire sur lequel s’exerce des contraintes normales
et tangentielles
D’une mani` ere g´ en´ erale σ i j est la contrainte suivant e i pour une facette normale
`
a e j :
contrainte normale `
a
e 1 e 2 e 3
e 1 σ 11 σ 12 σ 13
contrainte e 2 σ 21 σ 22 σ 23
suivant e 3 σ 31 σ 32 σ 33
Le probl` eme est maintenant de savoir comment s’exprime la contrainte relative
`
a une facette dont la normale a une direction quelconque.
On consid` ere l’´ equilibre d’un t´ etra` edre infiniment petit PA 1 A 2 A 3 (Fig. 2.8)
On pose