310
Liste des figures
3.7 Choix des ´
echelles pour la d´ efinition des d´ eg´ en´ erescences des ´
equations; V 0 est la
vitesse caract´ eristiques et L, L 1 et L 2 sont les longueurs caract´ eristiques de l’objet
´
etudi´ e et du domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1 Tourbillon autosimilaire : ´
evolution de la vitesse V θ (r) en fonction du temps qui
tend vers z´ ero par diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Isovaleurs de la vitesse normale au plan (x, z); la vitesse est maximale au centre
du domaine et satisfait les conditions d’adh´ erence aux bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3 Evolution de la vitesse V θ en fonction du rayon pour t = 1, 3, 10, 100 s pour une
vitesse de rotation de Ω = 1 rd s −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4 Ecoulement de Couette pour un fluide de Bingham; ´
evolution de la viscosit´ e
μ = f (γ . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.5 Ecoulement de Couette pour un fluide de Bingham, les solutions th´ eorique et
num´ erique sont pratiquement confondues; la vitesse devient nulle au-del` a de la
contrainte critique τ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1 Th´ eor` eme de Kelvin sur la circulation sur un tube de courant le long d’un contour
ferm´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 Circulation du vecteur vitesse V(M) le long d’un contour ouvert (C) . . . . . . . . . . . . 110
5.3 Vitesse r´ eelle V et vitesse complexe de l’´ ecoulement ζ d’un ´
ecoulement plan
irrotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4 Calcul du d´ ebit volumique entre deux lignes de courant de valeurs ψ 1 et ψ 2 . . . . . . . 114
5.5 Circulation sur un contour ferm´ e (C) dans un domaine connexe (D) sans singularit´ e 115
5.6 Circulation sur un contour ferm´ e (C) autour d’un ˆ ılot contenant une singularit´ e (Δ ) 116
5.7 Equipotentielles et lignes de courant pour un ´
ecoulement uniforme d´ efini par un
potentiel complexe de partie r´ eelle φ et de partie imaginaire ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.8 Equipotentielles et lignes de courant pour un ´
ecoulement de type source ou puits
d´ efini par un potentiel complexe de partie r´ eelle φ et de partie imaginaire ψ . . . . . . 120
5.9 Equipotentielles et lignes de courant pour un ´
ecoulement de type tourbillon
ponctuel `
a l’origine d´ efini par un potentiel complexe de partie r´ eelle φ et de partie
imaginaire ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.10 Equipotentielles et lignes de courant pour un Doublet plac´ e `
a l’origine d´ efini par
un potentiel complexe de partie r´ eelle φ et de partie imaginaire ψ . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.11 Equipotentielles et lignes de courant pour un ´
ecoulement dans un angle droit
d´ efini par un potentiel complexe de partie r´ eelle φ et de partie imaginaire ψ . . . . . . 123
5.12 Equipotentielles et lignes de courant pour un ´
ecoulement dans un angle aigu d´ efini
par un potentiel complexe de partie r´ eelle φ et de partie imaginaire ψ . . . . . . . . . . . . 124
5.13 Equipotentielles et lignes de courant pour un ´
ecoulement autour d’un angle obtu
de 180 ◦ (plaque plane) d´ efini par un potentiel complexe de partie r´ eelle φ et de
partie imaginaire ψEcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.1 La r´ eversibilit´ e selon G.I. Taylor [30]; un carr´ e est d´ eform´ e par un champ de
vitesse correspondant `
a un ´
ecoulement de Couette g´ en´ er´ e par la rotation du
cylindre int´ erieur sur 10 tours (en haut); l’inversion du sens de rotation sur le
mˆ eme nombre de tours redonne la solution initiale (en bas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.2 Superposition d’´ ecoulements en r´ egime de Stokes; la superposition d’un
´
ecoulement de Couette plan et de Poiseuille donne un autre ´
ecoulement r´ egi par
l’´ equation de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.3 Ecoulement autour d’un cylindre `
a section circulaire dans un milieu infini en
r´ egime de Stokes; la vitesse `
a l’infini est ´
egale `
a V = V 0 e x ; (r, θ ) sont les
coordonn´ ees polaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.4 Ecoulement en milieu poreux : la cellule de Hele-Shaw form´ ee par deux parois
planes distantes de d g´ en` erent un ´
ecoulement de Stokes qui mod´ elise l’´ ecoulement
en milieux poreux autour d’un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Liste des figures
3.7 Choix des ´
echelles pour la d´ efinition des d´ eg´ en´ erescences des ´
equations; V 0 est la
vitesse caract´ eristiques et L, L 1 et L 2 sont les longueurs caract´ eristiques de l’objet
´
etudi´ e et du domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1 Tourbillon autosimilaire : ´
evolution de la vitesse V θ (r) en fonction du temps qui
tend vers z´ ero par diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Isovaleurs de la vitesse normale au plan (x, z); la vitesse est maximale au centre
du domaine et satisfait les conditions d’adh´ erence aux bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3 Evolution de la vitesse V θ en fonction du rayon pour t = 1, 3, 10, 100 s pour une
vitesse de rotation de Ω = 1 rd s −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4 Ecoulement de Couette pour un fluide de Bingham; ´
evolution de la viscosit´ e
μ = f (γ . ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.5 Ecoulement de Couette pour un fluide de Bingham, les solutions th´ eorique et
num´ erique sont pratiquement confondues; la vitesse devient nulle au-del` a de la
contrainte critique τ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1 Th´ eor` eme de Kelvin sur la circulation sur un tube de courant le long d’un contour
ferm´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 Circulation du vecteur vitesse V(M) le long d’un contour ouvert (C) . . . . . . . . . . . . 110
5.3 Vitesse r´ eelle V et vitesse complexe de l’´ ecoulement ζ d’un ´
ecoulement plan
irrotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4 Calcul du d´ ebit volumique entre deux lignes de courant de valeurs ψ 1 et ψ 2 . . . . . . . 114
5.5 Circulation sur un contour ferm´ e (C) dans un domaine connexe (D) sans singularit´ e 115
5.6 Circulation sur un contour ferm´ e (C) autour d’un ˆ ılot contenant une singularit´ e (Δ ) 116
5.7 Equipotentielles et lignes de courant pour un ´
ecoulement uniforme d´ efini par un
potentiel complexe de partie r´ eelle φ et de partie imaginaire ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.8 Equipotentielles et lignes de courant pour un ´
ecoulement de type source ou puits
d´ efini par un potentiel complexe de partie r´ eelle φ et de partie imaginaire ψ . . . . . . 120
5.9 Equipotentielles et lignes de courant pour un ´
ecoulement de type tourbillon
ponctuel `
a l’origine d´ efini par un potentiel complexe de partie r´ eelle φ et de partie
imaginaire ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.10 Equipotentielles et lignes de courant pour un Doublet plac´ e `
a l’origine d´ efini par
un potentiel complexe de partie r´ eelle φ et de partie imaginaire ψ . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.11 Equipotentielles et lignes de courant pour un ´
ecoulement dans un angle droit
d´ efini par un potentiel complexe de partie r´ eelle φ et de partie imaginaire ψ . . . . . . 123
5.12 Equipotentielles et lignes de courant pour un ´
ecoulement dans un angle aigu d´ efini
par un potentiel complexe de partie r´ eelle φ et de partie imaginaire ψ . . . . . . . . . . . . 124
5.13 Equipotentielles et lignes de courant pour un ´
ecoulement autour d’un angle obtu
de 180 ◦ (plaque plane) d´ efini par un potentiel complexe de partie r´ eelle φ et de
partie imaginaire ψEcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.1 La r´ eversibilit´ e selon G.I. Taylor [30]; un carr´ e est d´ eform´ e par un champ de
vitesse correspondant `
a un ´
ecoulement de Couette g´ en´ er´ e par la rotation du
cylindre int´ erieur sur 10 tours (en haut); l’inversion du sens de rotation sur le
mˆ eme nombre de tours redonne la solution initiale (en bas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.2 Superposition d’´ ecoulements en r´ egime de Stokes; la superposition d’un
´
ecoulement de Couette plan et de Poiseuille donne un autre ´
ecoulement r´ egi par
l’´ equation de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.3 Ecoulement autour d’un cylindre `
a section circulaire dans un milieu infini en
r´ egime de Stokes; la vitesse `
a l’infini est ´
egale `
a V = V 0 e x ; (r, θ ) sont les
coordonn´ ees polaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.4 Ecoulement en milieu poreux : la cellule de Hele-Shaw form´ ee par deux parois
planes distantes de d g´ en` erent un ´
ecoulement de Stokes qui mod´ elise l’´ ecoulement
en milieux poreux autour d’un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137