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Annexe B : Op´ erateurs en coordonn´ ees curvilignes orthogonales
Syst ` eme de coordonn ´ ees cart ´ esiennes
Divergence de la vitesse
∇ · V =
∂V x
∂ x
+
∂V y
∂ y
+
∂V z
∂ z
Gradient de la vitesse
∂V x
∂ x
∂V x
∂ y
∂V x
∂ z
∂V y
∂ x
∂V y
∂ y
∂V y
∂ z
∂V z
∂ x
∂V z
∂ y
∂V z
∂ z
Rotationnel
∇ × V =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂V z
∂ y
−
∂V y
∂ z
∂V x
∂ z
−
∂V z
∂ x
∂V y
∂ x
−
∂V x
∂ y
Laplacien de la vitesse
∇
2
V =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ 2 V x
∂ x 2 +
∂ 2 V x
∂ y 2 +
∂ 2 V x
∂ z 2
∂ 2 V y
∂ x 2 +
∂ 2 V y
∂ y 2 +
∂ 2 V y
∂ z 2
∂ 2 V z
∂ x 2 +
∂ 2 V z
∂ y 2 +
∂ 2 V z
∂ z 2
Tenseur des taux de d´ eformations D
d xx =
∂V x
∂ x
; d yy =
∂V y
∂ y
; d zz =
∂V z
∂ z
d xy = d yx =
1
2
� ∂V y
∂ x
+
∂V x
∂ y
�