Annexe B : Op´ erateurs en coordonn´ ees curvilignes orthogonales
299
Gradient d’un vecteur
dV = d (V 1 e 1 +V 2 e 2 +V 3 e 3 ) = ∇V · dM
1
h 1
∂V 1
∂ x 1
+
V 2
h 2
∂ h 1
∂ x 2
+
V 3
h 3
∂ h 1
∂ x 3
1
h 2
∂V 1
∂ x 2
−
V 2
h 1
∂ h 2
∂ x 1
1
h 3
∂V 1
∂ x 3
−
V 3
h 1
∂ h 3
∂ x 1
1
h 1
∂V 2
∂ x 1
−
V 1
h 2
∂ h 1
∂ x 2
1
h 2
∂V 2
∂ x 2
+
V 3
h 3
∂ h 2
∂ x 3
+
V 1
h 1
∂ h 2
∂ x 1
1
h 3
∂V 2
∂ x 3
−
V 3
h 2
∂ h 3
∂ x 2
1
h 1
∂V 3
∂ x 1
−
V 1
h 3
∂ h 1
∂ x 3
1
h 2
∂V 3
∂ x 2
−
V 2
h 3
∂ h 2
∂ x 3
1
h 3
∂V 3
∂ x 3
+
V 1
h 1
∂ h 3
∂ x 1
+
V 2
h 2
∂ h 3
∂ x 2
Divergence d’un tenseur du second ordre
(∇ · T) 1 =
1
h 1 h 2 h 3
∂ (h 2 h 3 T 11 )
∂ x 1
+
∂ (h 3 h 1 T 12 )
∂ x 2
+
∂ (h 1 h 2 T 13 )
∂ x 3
+
1
h 1 h 2
T 21
∂ h 1
∂ x 2
− T 22
∂ h 2
∂ x 1
+
1
h 3 h 1
T 31
∂ h 1
∂ x 3
− T 33
∂ h 3
∂ x 1
(∇ · T) 2 =
1
h 1 h 2 h 3
∂ (h 2 h 3 T 21 )
∂ x 1
+
∂ (h 3 h 1 T 22 )
∂ x 2
+
∂ (h 1 h 2 T 23 )
∂ x 3
+
1
h 2 h 3
T 32
∂ h 2
∂ x 3
− T 33
∂ h 3
∂ x 2
+
1
h 1 h 2
T 12
∂ h 2
∂ x 1
− T 11
∂ h 1
∂ x 2
(∇ · T) 3 =
1
h 1 h 2 h 3
∂ (h 2 h 3 T 31 )
∂ x 1
+
∂ (h 3 h 1 T 32 )
∂ x 2
+
∂ (h 1 h 2 T 33 )
∂ x 3
+
1
h 3 h 1
T 13
∂ h 3
∂ x 1
− T 11
∂ h 1
∂ x 3
+
1
h 2 h 3
T 23
∂ h 3
∂ x 2
− T 22
∂ h 2
∂ x 3
Vecteur acc´ el´ eration
γ =
∂ V
∂t
+ V · ∇V
Syst` eme
h 1 h 2 h 3
cart´ esien
x y
z
1 1
1
cylindrique r θ
z
1 r
1
axi-sym´ etrique r − z
1 r
1
polaire
r θ −
1 r
1
sph´ erique
r θ φ
1 r r sin θ
axi-sph´ erique r θ −
1 r r sin θ
etc.
− − −
− − −
Tableau .1 M´ etriques pour quelques syst` emes de coordonn´ ees curvilignes orthogonales