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Annexe B : Op´ erateurs en coordonn´ ees curvilignes orthogonales
Gradient d’un scalaire
∇s =
1
h 1
∂ s
∂ x 1
e 1 +
1
h 2
∂ s
∂ x 2
e 2 +
1
h 3
∂ s
∂ x 3
e 3
(∇s) i =
1
h i
∂ s
∂ x i
Divergence d’un vecteur : ∇ · V = Trace(∇V)
∇ · V =
1
h 1 h 2 h 3
� ∂ (h 2 h 3 V 1 )
∂ x 1
+
∂ (h 3 h 1 V 2 )
∂ x 2
+
∂ (h 1 h 2 V 3 )
∂ x 3
�
Rotationnel d’un vecteur
(∇ × V) i =
1
h j h k
� ∂ (h k V k )
∂ x j
−
∂ (h j V j )
∂ x k
�
Laplacien d’un scalaire
∇
2 s =
1
h 1 h 2 h 3
� ∂
∂ x 1
� h 2 h 3
h 1
∂ s
∂ x 1
�
+
∂
∂ x 2
� h 3 h 1
h 2
∂ s
∂ x 2
�
+
∂
∂ x 3
� h 1 h 2
h 3
∂ s
∂ x 3
��
D´ eriv´ ees des vecteurs unitaires e :
Pour la composante e 1 :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ e 1
∂ x 1
= −
1
h 2
∂ h 1
∂ x 2
e 2 −
1
h 3
∂ h 1
∂ x 3
e 3
∂ e 2
∂ x 1
=
1
h 2
∂ h 1
∂ x 2
e 1
∂ e 3
∂ x 1
=
1
h 3
∂ h 1
∂ x 3
e 1
Par permutation on a :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ e 1
∂ x 2
=
1
h 1
∂ h 2
∂ x 1
e 2
∂ e 2
∂ x 2
= −
1
h 1
∂ h 2
∂ x 1
e 1 −
1
h 3
∂ h 2
∂ x 3
e 3
∂ e 3
∂ x 2
=
1
h 3
∂ h 2
∂ x 3
e 2
et
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ e 1
∂ x 3
=
1
h 1
∂ h 3
∂ x 1
e 3
∂ e 2
∂ x 3
=
1
h 2
∂ h 3
∂ x 2
e 3
∂ e 1
∂ x 3
= −
1
h 1
∂ h 3
∂ x 1
e 1 −
1
h 2
∂ h 3
∂ x 2
e 2