Annexe B : Op´ erateurs en coordonn´ ees
curvilignes orthogonales
D´ esignons par (x, y, z) les coordonn´ ees cart´ esiennes et par (x 1 , x 2 , x 3 ) les coordonn´ ees curvilignes orthogonales et supposons connues les formules de changement
de coordonn´ ees :
⎧
⎨
⎩
x = x(x 1 , x 2 , x 3 ,t)
y = y(x 1 , x 2 , x 3 ,t)
z = z(x 1 , x 2 , x 3 ,t)
D´ esignons par h la m´ etrique de composantes :
h = ( ∂ x/∂ x 1 , ∂ y/∂ x 2 , ∂ z/∂ x 3 )
On peut d´ efinir en chaque point le vecteur orthonorm´ e (e 1 , e 2 , e 3 ) tel que
h i = h i e i
On a ainsi
dx = h 1 dx 1 e 1 + h 2 dx 2 e 2 + h 3 dx 3 e 3
L’´ el´ ement de longueur est donn´ e par
dl
2
= h
2
1 dx
2
1 + h
2
2 dx
2
2 + h
2
3 dx
2
3
et l’´ el´ ement de volume par
dV = h 1 h 2 h 3 dx 1 dx 2 dx 3
Soit V le vecteur dans le rep` ere curviligne orthogonal :
V = V 1 e 1 +V 2 e 2 +V 3 e 3
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J.-P. Caltagirone, Physique des Écoulements Continus,
Mathématiques et Applications 74, DOI: 10.1007/978-3-642-39510-9,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013