Annexe A : Formulaire
• D´ eriv´ ee particulaire d’un scalaire
ds
dt
=
∂ s
∂t
+ V · ∇s
• D´ eriv´ ee particulaire d’une int´ egrale de volume
d
dt
���
Ω
s dv =
���
Ω
∂ s
∂t
+ ∇ · (s V)dv
d
dt
���
Ω
s dv =
���
Ω
ds
dt
+ s∇ · Vdv
• Conservation de la masse
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ ρ
∂t
+ ∇ · (ρ V) = 0
dρ
dt
+ ρ∇ · V = 0
• Fluide newtonien
σ i j = −p δ i j + τ i j
= −p δ i j + λ ∇ · Vδ i j + 2μD i j = −p δ i j + λ ∇ · Vδ i j + μ (V i, j + V j,i )
σ = −p I + λ ∇ · V I + μ
� ∇V + ∇
T
V
�
• Equations de Navier-Stokes
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ρ
� ∂V i
∂t
+V j
∂V i
∂ x j
�
= −
∂ p
∂ x i
+ ρ g i +
∂
∂ x i
�
μ
� ∂V i
∂ x j
+
∂V j
∂ x i
��
+
∂
∂ x j
�
λ
∂V i
∂ x i
�
ρ
� ∂ V
∂t
+ V · ∇V
�
= −∇p + ρ g + ∇ ·
� μ
�
∇V + ∇
T V
�� + ∇ (λ ∇ · V)
ρ
� ∂ V
∂t
+
1
2
(∇V)
2 + ∇ × V × V
�
= −∇p + ρ g + ∇ ·
� μ
�
∇V + ∇
T V
�� + ∇ (λ ∇ · V)
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J.-P. Caltagirone, Physique des Écoulements Continus,
Mathématiques et Applications 74, DOI: 10.1007/978-3-642-39510-9,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013