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11 Multiphysique
σ = λ (tr ε) I + 2 μ ε
o` u λ et μ sont les coefficients de Lam´ e.
Le tenseur des d´ eformations est :
ε =
1
2
� ∇V + ∇
t
V
� = 0
o` u V est le vecteur d´ eplacement.
Les ´
equations de Navier s’´ ecrivent :
⎧
⎨
⎩
∇ (λ ∇ · V) + ∇ ·
� μ
� ∇V + ∇
t
V
�� = 0
V | Σ = 0
Pour un mat´ eriau isotrope en d´ eformation plane, les coefficients de Lam´ e s’expriment
`
a partir du module d’Young E et du coefficient de Poisson ν :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
λ =
E ν
(1 + ν) (1 − 2 ν)
2μ =
E
(1 + ν)
E =
μ(3 λ + 2 μ)
λ + μ
ν =
λ
2 (λ + μ)
On consid` ere un probl` eme d’´ elasticit´ e plane simple : une plaque d’acier carr´ ee
est encastr´ ee sur une base immobile sur sa surface inf´ erieure et maintenue par une
embase rigide sur sa surface sup´ erieure (Fig. 11.13). La plaque d’acier est soumise
`
a un d´ eplacement vertical fix´ e V z = V 0 `
a l’aide de l’embase.
Lorsque le d´ eplacement est impos´ e verticalement le mat´ eriau se r´ etracte horizontalement. La r´ esolution de ce probl` eme conduit `
a la connaissance des d´ eplacements,
et ´
eventuellement des contraintes. Le calcul de la d´ eform´ ee peut aussi ˆ
etre visualis´ e
en amplifiant les d´ eplacements.
Fig. 11.13 Plaque comportant deux mat´ eriaux ´
elastiques, contraintes dans le mat´ eriau composite
et trajectoires du vecteur d´ eplacement.