11.3 Mod` ele multiphysique multimat´ eriaux
283
11.3.7.4 Chauffage d’une cavit´ e
Une cavit´ e remplie d’air consid´ er´ e comme un gaz parfait est port´ ee de T 0 = 300 `
a
T 1 = 400 par mise en temp´ erature par les deux parois verticales. La pression initiale
est p 0 = 101325 Pa et la masse volumique est ´
egale `
a ρ 0 = 1.176829.
La solution th´ eorique est :
⎧
⎨
⎩
p 1 = ρ 0 r T 1 = 1.1768292 · 287 · 400 = 135100
ρ 1 = ρ 0
T 1 = 400
soit Δ p = 33775 Pa.
Tableau 11.2 Chauffage d’une cavit´ e; convergence en espace avec un pas de temps de Δt = 0.1s.
N
(p 1 − p 0 ) (p 1 − p 0 )/(p th − p 0 )
4
22279
3.4037 10 −2
8
27615
1.8238 10 −2
16
30603
9.3915 10 −3
32
32211
4.6306 10 −3
64
33027
2.2146 10 −3
128
33422
1.0451 10 −3
256
33612
4.8260 10 −4
512
33707
2.0133 10 −4
1024
33751
7.1058 10 −5
Ordre
1.11
1.11
Th´ eorique 33775
-
La solution num´ erique obtenue avec un maillage r´ egulier et un pas de temps de
Δt = 0.1s pour une cavit´ e de H = 0.1 permet de trouver une pression p 1 − p 0 qui
d´ epend de l’approximation spatiale.
La pr´ ecision d´ epend des pas de temps et d’espace. Le fort couplage en temps et
en espace ne permet d’atteindre que l’ordre un (Tab. 11.2).
Ce probl` eme est complexe : le fluide est chauff´ e par les parois par diffusion dans
un premier temps; La dilatation du fluide g´ en´ er´ ee par ce chauffage va engendrer des
effets thermoacoustiques importants dans les tous premiers instants du chauffage.
Des ondes acoustiques vont donc ´
evoluer `
a la vitesse du son dans la cavit´ e et se
r´ efl´ echir sur la paroi oppos´ ee pour ´
etablir apr` es quelques instants une solution stationnaire et uniforme.
A aucune ´
etape de la r´ esolution la conservation de la masse est invoqu´ ee, la
masse de fluide dans la cavit´ e est conserv´ ee intrins` equement. De mˆ eme la loi d’´ etat
n’est pas utilis´ ee, seuls les coefficients thermodynamiques, β , χ T , sont `
a actualiser
localement.
283
11.3.7.4 Chauffage d’une cavit´ e
Une cavit´ e remplie d’air consid´ er´ e comme un gaz parfait est port´ ee de T 0 = 300 `
a
T 1 = 400 par mise en temp´ erature par les deux parois verticales. La pression initiale
est p 0 = 101325 Pa et la masse volumique est ´
egale `
a ρ 0 = 1.176829.
La solution th´ eorique est :
⎧
⎨
⎩
p 1 = ρ 0 r T 1 = 1.1768292 · 287 · 400 = 135100
ρ 1 = ρ 0
T 1 = 400
soit Δ p = 33775 Pa.
Tableau 11.2 Chauffage d’une cavit´ e; convergence en espace avec un pas de temps de Δt = 0.1s.
N
(p 1 − p 0 ) (p 1 − p 0 )/(p th − p 0 )
4
22279
3.4037 10 −2
8
27615
1.8238 10 −2
16
30603
9.3915 10 −3
32
32211
4.6306 10 −3
64
33027
2.2146 10 −3
128
33422
1.0451 10 −3
256
33612
4.8260 10 −4
512
33707
2.0133 10 −4
1024
33751
7.1058 10 −5
Ordre
1.11
1.11
Th´ eorique 33775
-
La solution num´ erique obtenue avec un maillage r´ egulier et un pas de temps de
Δt = 0.1s pour une cavit´ e de H = 0.1 permet de trouver une pression p 1 − p 0 qui
d´ epend de l’approximation spatiale.
La pr´ ecision d´ epend des pas de temps et d’espace. Le fort couplage en temps et
en espace ne permet d’atteindre que l’ordre un (Tab. 11.2).
Ce probl` eme est complexe : le fluide est chauff´ e par les parois par diffusion dans
un premier temps; La dilatation du fluide g´ en´ er´ ee par ce chauffage va engendrer des
effets thermoacoustiques importants dans les tous premiers instants du chauffage.
Des ondes acoustiques vont donc ´
evoluer `
a la vitesse du son dans la cavit´ e et se
r´ efl´ echir sur la paroi oppos´ ee pour ´
etablir apr` es quelques instants une solution stationnaire et uniforme.
A aucune ´
etape de la r´ esolution la conservation de la masse est invoqu´ ee, la
masse de fluide dans la cavit´ e est conserv´ ee intrins` equement. De mˆ eme la loi d’´ etat
n’est pas utilis´ ee, seuls les coefficients thermodynamiques, β , χ T , sont `
a actualiser
localement.