2.3 Conservation de la masse
17
c =
∂ p
∂ ρ
S
=
1
ρ χ S
o` u χ S = γ χ T est le coefficient de compressibilit´ e isentropique.
Quand l’on sait que la vitesse du son dans l’air est de l’ordre de c = 340 ms −1 et
que celle de l’eau est de c = 1800 ms −1 on peut admettre qu’aucun fluide n’est incompressible. Si c’´ etait le cas toute perturbation se propagerait `
a l’infini de mani` ere
instantan´ ee.
Il ne faut pas confondre ´
ecoulement incompressible et fluide incompressible. De
nombreux ouvrages comportent cette erreur. Le fluide incompressible poss` ede un
coefficient de compressibilit´ e nul ce qui correspond notamment `
a une c´ el´ erit´ e du
son infinie et bien entendu tous les fluides r´ eels sont compressibles plus ou moins
comme les liquides par exemple. Le coefficient de compressibilit´ e est intrins` eque au
fluide alors que l’approximation d’´ ecoulement incompressible d´ epend de la valeur
de la vitesse. On montrera plus loin que cette approximation est valide lorsque le
nombre de Mach est inf´ erieur `
a une valeur de 0.2. On peut tout `
a fait admettre qu’un
´
ecoulement d’air `
a faible vitesse peut relever de cette approximation alors qu’un
´
ecoulement de liquide sous de fortes pressions et de grandes vitesses ne rentre plus
dans le cadre de cette approximation.
Une autre vision simpliste consiste `
a consid´ erer que tous les ´
ecoulements compressibles entrent dans le cadre des grandes vitesses. Il existe de nombreuses applications o` u la divergence de la vitesse est loin d’ˆ etre nulle et o` u pourtant les
vitesses sont faibles. Une compression d’un gaz dans un cylindre `
a tr` es faible vitesse
doit bien sˆ ur ˆ
etre consid´ er´ ee comme un ´
ecoulement compressible d’un fluide compressible. Appartenir `
a une communaut´ e de sp´ ecialistes de tel ou tel domaine de la
m´ ecanique des fluides n’exclut pas de conserver une vision objective de la r´ ealit´ e.
2.3.4 Ecoulement incompressible mais dilatable
Comme on peut le remarquer, le fait de consid´ erer que le fluide est dilatable dans
un champ de temp´ erature non uniforme conduit in´ eluctablement `
a un ´
ecoulement `
a
divergence non nulle.
Contraindre l’´ ecoulement `
a ˆ
etre `
a divergence nulle en admettant que le fluide est
dilatable ne peut s’envisager que dans le cadre de ”l’approximation de Boussinesq”
o` u la variation de la masse volumique n’est retenue que dans le terme g´ en´ erateur
de la convection naturelle de l’´ equation du mouvement. Par exemple la masse volumique peut ˆ
etre lin´ earis´ ee en fonction de la temp´ erature et de la pression sous la
forme ρ = ρ 0 (1 − β (T − T 0 ) + χ T (p − p 0 )). La masse volumique sera remplac´ ee
dans tous les autres termes de toutes les ´
equations par la masse volumique moyenne
constante ρ 0 .
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c =
∂ p
∂ ρ
S
=
1
ρ χ S
o` u χ S = γ χ T est le coefficient de compressibilit´ e isentropique.
Quand l’on sait que la vitesse du son dans l’air est de l’ordre de c = 340 ms −1 et
que celle de l’eau est de c = 1800 ms −1 on peut admettre qu’aucun fluide n’est incompressible. Si c’´ etait le cas toute perturbation se propagerait `
a l’infini de mani` ere
instantan´ ee.
Il ne faut pas confondre ´
ecoulement incompressible et fluide incompressible. De
nombreux ouvrages comportent cette erreur. Le fluide incompressible poss` ede un
coefficient de compressibilit´ e nul ce qui correspond notamment `
a une c´ el´ erit´ e du
son infinie et bien entendu tous les fluides r´ eels sont compressibles plus ou moins
comme les liquides par exemple. Le coefficient de compressibilit´ e est intrins` eque au
fluide alors que l’approximation d’´ ecoulement incompressible d´ epend de la valeur
de la vitesse. On montrera plus loin que cette approximation est valide lorsque le
nombre de Mach est inf´ erieur `
a une valeur de 0.2. On peut tout `
a fait admettre qu’un
´
ecoulement d’air `
a faible vitesse peut relever de cette approximation alors qu’un
´
ecoulement de liquide sous de fortes pressions et de grandes vitesses ne rentre plus
dans le cadre de cette approximation.
Une autre vision simpliste consiste `
a consid´ erer que tous les ´
ecoulements compressibles entrent dans le cadre des grandes vitesses. Il existe de nombreuses applications o` u la divergence de la vitesse est loin d’ˆ etre nulle et o` u pourtant les
vitesses sont faibles. Une compression d’un gaz dans un cylindre `
a tr` es faible vitesse
doit bien sˆ ur ˆ
etre consid´ er´ ee comme un ´
ecoulement compressible d’un fluide compressible. Appartenir `
a une communaut´ e de sp´ ecialistes de tel ou tel domaine de la
m´ ecanique des fluides n’exclut pas de conserver une vision objective de la r´ ealit´ e.
2.3.4 Ecoulement incompressible mais dilatable
Comme on peut le remarquer, le fait de consid´ erer que le fluide est dilatable dans
un champ de temp´ erature non uniforme conduit in´ eluctablement `
a un ´
ecoulement `
a
divergence non nulle.
Contraindre l’´ ecoulement `
a ˆ
etre `
a divergence nulle en admettant que le fluide est
dilatable ne peut s’envisager que dans le cadre de ”l’approximation de Boussinesq”
o` u la variation de la masse volumique n’est retenue que dans le terme g´ en´ erateur
de la convection naturelle de l’´ equation du mouvement. Par exemple la masse volumique peut ˆ
etre lin´ earis´ ee en fonction de la temp´ erature et de la pression sous la
forme ρ = ρ 0 (1 − β (T − T 0 ) + χ T (p − p 0 )). La masse volumique sera remplac´ ee
dans tous les autres termes de toutes les ´
equations par la masse volumique moyenne
constante ρ 0 .