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2 Equations de conservation
2.3.3 Ecoulement incompressible
L’expression g´ en´ erale pr´ ec´ edente repr´ esente la conservation locale de la masse;
elle exprime la variation de la masse volumique d’un ´
el´ ement fluide que l’on suit
dans son mouvement.
Il est possible d’adopter une approximation simplificatrice qui consiste `
a annuler la divergence locale de la vitesse sous certaines conditions discut´ ees plus loin.
Adopter ∇ · V = 0 revient `
a consid´ erer le taux de dilatation volumique du fluide
nul; le fluide peut se d´ eformer mais chaque ´
el´ ement garde son volume au cours du
mouvement.
∇ · V = 0 ⇒
dρ
dt
= 0
Adopter l’approximation de divergence nulle revient `
a dire que la masse volumique reste constante tout au long d’une trajectoire. Il est `
a noter que cette expression n’implique en rien que la masse volumique soit une constante! On dit que
”l’´ ecoulement est incompressible”.
En exprimant les d´ eriv´ ees partielles de la masse volumique par rapport `
a la pression et `
a la temp´ erature :
dρ
dt
=
∂ ρ
∂ p
T
d p
dt
+
∂ ρ
∂ T
p
dT
dt
on trouve :
1
ρ
∂ ρ
∂ p
T
d p
dt
+
1
ρ
∂ ρ
∂ T
p
dT
dt
+ ∇ · V = 0
soit
∇ · V = −χ T
d p
dt
+ β
dT
dt
Si un ´
ecoulement est `
a divergence nulle, cela peut ˆ
etre dˆ u `
a plusieurs effets
diff´ erents :
• L’´ ecoulement est `
a pression et `
a temp´ erature constantes le long d’une ligne de
courant. Cela ne veut evidemment pas dire que la pression et la temp´ erature sont
uniformes sur Ω .
• Le fluide est `
a compressibilit´ e nulle et `
a dilatation nulle.
Dans tous les cas les deux termes du second membre de la relation pr´ ec´ edente
doivent ˆ
etre ´
egaux `
a z´ ero ou le second membre nul par compensation ce qui serait
totalement fortuit et peu vraisemblable.
On notera que la vitesse du son s’´ ecrit: