11.3 Mod` ele multiphysique multimat´ eriaux
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dρ = ρ V 0 S dt
L’int´ egration donne :
ρ = ρ 0 e
V 0 S t
Comme :
V 0 S
V
= −∇ · V
on a :
ρ = ρ 0 e
−∇·V t
La pression s’´ ecrit quant `
a elle :
p
p 0
=
ρ
ρ 0
γ
= e
−γ ∇·V t
La temp´ erature est d´ eduite de l’´ equation d’´ etat p = ρ r T .
T
T 0
=
p
p 0
ρ 0
ρ
=
ρ 0
ρ
γ−1
=
p
p 0
γ−1
γ
Si le pas de temps Δt est petit on peut d´ evelopper l’exponentielle :
p
p 0
= 1 − γ ∇ · V Δt + O(Δ
2 t)
Pour une transformation adiabatique on a donc :
p = p 0 −
γ Δt
χ T 0
∇ · V
La figure 11.9 montre les ´
evolutions de la pression et de la temp´ erature au cours
du temps. Les essais num´ eriques montrent effectivement que l’ordre deux en temps
a ´
et´ e obtenu avec le mod` ele sur la pression et la masse volumique et en cons´ equence
sur la temp´ erature (Tab. 11.1).
Injection quelconque dans une cavit´ e
On constate que les expressions de l’´ evolution de la pression dans le cas isotherme
et en ´
evolution adiabatique sont les mˆ emes. Elle s’´ ecrit finalement: