11.3 Mod` ele multiphysique multimat´ eriaux
279
ou, pour un temps Δt = t − t 0 :
m = m 0 + Δt ρ 0 V 0 S
La masse volumique moyenne est :
ρ(t) =
ρ 0 + ρ 0 Δt ρ 0 V 0 S 0
V
= ρ 0
1 +
V 0 S
V
Δt
o` u V est le volume de la cavit´ e.
Mais
∇ · V = −
V 0 S
V
Soit
ρ = ρ 0 (1 − Δt ∇ · V)
Comme on consid` ere un gaz parfait p = ρ r T 0 la pression s’´ ecrit quant `
a elle :
p = p 0 (1 − Δt ∇ · V)
ou bien encore, comme χ T = 1/p en gaz parfait :
p = p 0 −
Δt
χ T
∇ · V
Cette expression g´ en´ eralise le cas du gaz parfait aux gaz quelconques.
On constate donc que la solution th´ eorique correspond exactement `
a la solution
du mod` ele (Fig. 11.8).
11.3.7.3 Injection adiabatique
Commenc ¸ons par injecter tr` es lentement le mˆ eme fluide que celui existant dans le
domaine avec une vitesse V 0 `
a travers une surface S pendant un laps de temps τ. La
masse volumique du fluide inject´ e est, `
a chaque instant, la mˆ eme que celle du fluide
d´ ej` a pr´ esent dans l’enceinte.
La divergence globale uniforme de la vitesse est ainsi :
∇ · V = −
V 0 S
[Ω ]
La solution de ce probl` eme, obtenue en consid´ erant l’´ evolution comme adiabatique et le gaz parfait, est simple et donne les ´
evolutions des variables du probl` eme
: