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11 Multiphysique
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
d p
dz
= −ρ g
d p
dz
=
γ p
ρ
dρ
dz
=
γ A ρ γ
ρ
dρ
dz
soit
ρ
γ−2 dρ = −
g
A γ
dz
la solution est donc :
ρ(z) =
�
−
g (γ − 1)
A γ
z + B
� 1
γ−1
la pression est quant `
a elle :
p(z) =
�
−
g (γ − 1)
A γ
z + B
� γ
γ−1
La constante B reste `
a d´ eterminer par une condition, condition `
a la limite ou
conservation de la masse dans la cavit´ e.
La temp´ erature peut ˆ
etre d´ etermin´ ee par l’´ equation d’´ etat. Sa distribution correspond `
a une ´
evolution isentropique, sans ´
echange avec l’ext´ erieur (et sans diffusion
interne).
A l’instant initial la pression est constante et la vitesse est nulle, la solution de
ce probl` eme est alors v(z) = −Δt g qui ne satisfait pas aux conditions aux limites
du probl` eme. Si elles sont maintenues sur des plans horizontaux alors c’est la divergence qui n’est pas nulle. C’est le champ de divergence locale qui permet de
remonter la pression `
a sa valeur d’´ equilibre.
Dans le cas o` u la contrainte est appliqu´ ee lors de la r´ esolution alors la pression
correspond `
a sa valeur d’´ equilibre instantan´ ement.
11.3.7.2 Injection isotherme
Le cas consiste `
a injecter un fluide compressible unique dans une cavit´ e ferm´ ee `
a
vitesse faible et `
a observer les ´
evolutions de la masse volumique et de la pression
au cours du temps. La compression du gaz parfait est suppos´ ee ˆ
etre tr` es lente et
isotherme `
a la temp´ erature de r´ ef´ erence T 0 . Le fluide inject´ e dans la cavit´ e est toujours de masse volumique ρ 0 . La masse volumique, la temp´ erature et la pression
sont uniformes dans tout le domaine.
La masse de fluide contenue dans la cavit´ e est de
m(t) = m 0 + ρ 0 V 0 S t