276
11 Multiphysique
tiphysiques, multi´ echelles et multimat´ eriaux. Le couplage des ´
ecoulements fluides
avec la m´ ecanique du solide, la diffusion des esp` eces, l’´ electromagn´ etisme, ... permettront d’am´ eliorer la compr´ ehension des ´
equations de Navier-Stokes.
Bien sˆ ur le syst` eme vectoriel bas´ e sur le mod` ele multiphysique est plus compliqu´ e et difficile `
a r´ esoudre qu’un syst` eme aux d´ eriv´ ees partielles `
a coefficients
constants. Mais la Nature est complexe, il faut s’y faire.
11.3.7 Comportement du mod` ele sur quelques exemples
11.3.7.1 Statique des fluides
On consid` ere une cavit´ e ferm´ ee remplie d’un fluide, gaz ou liquide dont les coefficients thermodynamiques sont connus. La pression initiale est constante ´
egale `
a p 0
et la gravit´ e est mise subitement ´
egale `
a g. L’´ equation de la statique des fluides permet de trouver la pression p(z) (mais uniquement `
a une constante pr` es) et la masse
volumique ρ(z).
Le mod` ele instationnaire pr´ esent´ e permet de simuler les ´
evolutions des diff´ erentes
quantit´ es au cours du temps mais bien sˆ ur aussi de retrouver le r´ esultat de l’´ equilibre
statique. L’int´ erˆ et de celui-ci r´ eside dans le fait que tous les ph´ enom` enes physiques
sont pris en compte lors de l’´ evolution : le fluide soumis `
a la gravit´ e tombe dans
la cavit´ e `
a une certaine vitesse mais comme la paroi inf´ erieure est imperm´ eable
(V · n = 0) et que le fluide poss` ede une compressibilit´ e finie, des ondes se propagent dans celui-ci `
a la vitesse du son. Les variations de la pression s’att´ enuent tr` es
rapidement pour donner exactement la solution de l’´ equilibre statique.
Les r´ esultats du mod` ele peuvent ˆ
etre compar´ es `
a ceux de l’´ equilibre statique pour
des ´
evolutions isothermes ou adiabatiques.
Equilibre incompressible
La temp´ erature est ´
egale `
a T 0 et la masse volumique est suppos´ ee constante et ´
egale
`
a ρ 0 . L’´ equation de l’hydrostatique conduit `
a
p(z) = p 0 − ρ 0 g z
si la pression est d´ efinie en z = 0 et ´
egale `
a p 0 .
Gaz parfait en ´
evolution isotherme
Si la temp´ erature est maintenue `
a T 0 , le fluide est barotrope p = p(ρ).
11 Multiphysique
tiphysiques, multi´ echelles et multimat´ eriaux. Le couplage des ´
ecoulements fluides
avec la m´ ecanique du solide, la diffusion des esp` eces, l’´ electromagn´ etisme, ... permettront d’am´ eliorer la compr´ ehension des ´
equations de Navier-Stokes.
Bien sˆ ur le syst` eme vectoriel bas´ e sur le mod` ele multiphysique est plus compliqu´ e et difficile `
a r´ esoudre qu’un syst` eme aux d´ eriv´ ees partielles `
a coefficients
constants. Mais la Nature est complexe, il faut s’y faire.
11.3.7 Comportement du mod` ele sur quelques exemples
11.3.7.1 Statique des fluides
On consid` ere une cavit´ e ferm´ ee remplie d’un fluide, gaz ou liquide dont les coefficients thermodynamiques sont connus. La pression initiale est constante ´
egale `
a p 0
et la gravit´ e est mise subitement ´
egale `
a g. L’´ equation de la statique des fluides permet de trouver la pression p(z) (mais uniquement `
a une constante pr` es) et la masse
volumique ρ(z).
Le mod` ele instationnaire pr´ esent´ e permet de simuler les ´
evolutions des diff´ erentes
quantit´ es au cours du temps mais bien sˆ ur aussi de retrouver le r´ esultat de l’´ equilibre
statique. L’int´ erˆ et de celui-ci r´ eside dans le fait que tous les ph´ enom` enes physiques
sont pris en compte lors de l’´ evolution : le fluide soumis `
a la gravit´ e tombe dans
la cavit´ e `
a une certaine vitesse mais comme la paroi inf´ erieure est imperm´ eable
(V · n = 0) et que le fluide poss` ede une compressibilit´ e finie, des ondes se propagent dans celui-ci `
a la vitesse du son. Les variations de la pression s’att´ enuent tr` es
rapidement pour donner exactement la solution de l’´ equilibre statique.
Les r´ esultats du mod` ele peuvent ˆ
etre compar´ es `
a ceux de l’´ equilibre statique pour
des ´
evolutions isothermes ou adiabatiques.
Equilibre incompressible
La temp´ erature est ´
egale `
a T 0 et la masse volumique est suppos´ ee constante et ´
egale
`
a ρ 0 . L’´ equation de l’hydrostatique conduit `
a
p(z) = p 0 − ρ 0 g z
si la pression est d´ efinie en z = 0 et ´
egale `
a p 0 .
Gaz parfait en ´
evolution isotherme
Si la temp´ erature est maintenue `
a T 0 , le fluide est barotrope p = p(ρ).