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11 Multiphysique
p
∗
= p + Φ
Cette nouvelle pression ne correspond ´
evidemment pas `
a la pression thermodynamique, en incompressible la pression est un simple lagrangien.
Corr´ elativement on peut consid´ erer que le potentiel vectoriel V Ψ = ∇ ×Ψ est
le v´ eritable moteur du mouvement. La d´ ecomposition de Hodge-Helmholtz peut
ˆ
etre appliqu´ ee `
a tous les termes sources de l’´ equation pour s´ eparer les diff´ erentes
composantes et ´
eviter ainsi de m´ elanger des pressions d’ordre de grandeur tr` es
diff´ erentes. Par exemple la pression capillaire d’une gouttelette d’eau de 1μm est
de l’ordre de 1 bar alors que les variations de pression locales dans le fluide environnant peut ˆ
etre de l’ordre de 10 −4 Pa.
Cette partition des diff´ erents termes de l’´ equation de Navier-Stokes est fondamentale pour la compr´ ehension des m´ ecanismes d’´ echanges d’´ energie notamment
pour la turbulence.
11.3.6 Remarque sur la loi de Stokes
L’in´ egalit´ e de Clausius-Duhem (voir les chapitres 2-4-10 et 2-4-11), a permis de
fixer les conditions `
a respecter pour les valeurs des coefficient de Lam´ e μ et λ ,
les coefficients de viscosit´ e de cisaillement et de compression. Si la viscosit´ e de
cisaillement est mesurable il n’en est pas de mˆ eme de la viscosit´ e de compression
λ qui doit ˆ
etre compris d’apr` es cette in´ egalit´ e entre −2/3 μ et l’infini [17]. G.G.
Stokes en identifiant pression m´ ecanique et pression thermodynamique aboutissait
`
a la loi 3 λ + 2 μ = 0. Depuis la fin du 19 `
eme si` ecle un certain nombre d’´ etudes ont
aliment´ e des controverses sur l’extension de cette loi `
a tous les fluides sans que des
mesures fiables puissent permettre de trancher sur sa validit´ e.
L’analyse pr´ ec´ edente permet d’identifier la viscosit´ e de compression `
a partir de
la viscosit´ e de volume ζ = λ + 2/3 μ. Alors que celle-ci est nulle d’apr` es la loi de
Stokes elle devient ´
egale ici `
a :
3 λ + 2 μ
3
=
dt
χ T
dans laquelle dt repr´ esente la constante de temps du ph´ enom` ene, d’o` u l’expression
de λ :
λ =
dt
χ T
−
2
3
μ
La viscosit´ e de compression n’est donc pas une quantit´ e intrins` eque au fluide alors
que χ T est intrins` eque et parfaitement mesurable, quel que soit le milieu consid´ er´ e,
gaz, liquide ou solide; la viscosit´ e de compression d´ epend de la constante du temps
11 Multiphysique
p
∗
= p + Φ
Cette nouvelle pression ne correspond ´
evidemment pas `
a la pression thermodynamique, en incompressible la pression est un simple lagrangien.
Corr´ elativement on peut consid´ erer que le potentiel vectoriel V Ψ = ∇ ×Ψ est
le v´ eritable moteur du mouvement. La d´ ecomposition de Hodge-Helmholtz peut
ˆ
etre appliqu´ ee `
a tous les termes sources de l’´ equation pour s´ eparer les diff´ erentes
composantes et ´
eviter ainsi de m´ elanger des pressions d’ordre de grandeur tr` es
diff´ erentes. Par exemple la pression capillaire d’une gouttelette d’eau de 1μm est
de l’ordre de 1 bar alors que les variations de pression locales dans le fluide environnant peut ˆ
etre de l’ordre de 10 −4 Pa.
Cette partition des diff´ erents termes de l’´ equation de Navier-Stokes est fondamentale pour la compr´ ehension des m´ ecanismes d’´ echanges d’´ energie notamment
pour la turbulence.
11.3.6 Remarque sur la loi de Stokes
L’in´ egalit´ e de Clausius-Duhem (voir les chapitres 2-4-10 et 2-4-11), a permis de
fixer les conditions `
a respecter pour les valeurs des coefficient de Lam´ e μ et λ ,
les coefficients de viscosit´ e de cisaillement et de compression. Si la viscosit´ e de
cisaillement est mesurable il n’en est pas de mˆ eme de la viscosit´ e de compression
λ qui doit ˆ
etre compris d’apr` es cette in´ egalit´ e entre −2/3 μ et l’infini [17]. G.G.
Stokes en identifiant pression m´ ecanique et pression thermodynamique aboutissait
`
a la loi 3 λ + 2 μ = 0. Depuis la fin du 19 `
eme si` ecle un certain nombre d’´ etudes ont
aliment´ e des controverses sur l’extension de cette loi `
a tous les fluides sans que des
mesures fiables puissent permettre de trancher sur sa validit´ e.
L’analyse pr´ ec´ edente permet d’identifier la viscosit´ e de compression `
a partir de
la viscosit´ e de volume ζ = λ + 2/3 μ. Alors que celle-ci est nulle d’apr` es la loi de
Stokes elle devient ´
egale ici `
a :
3 λ + 2 μ
3
=
dt
χ T
dans laquelle dt repr´ esente la constante de temps du ph´ enom` ene, d’o` u l’expression
de λ :
λ =
dt
χ T
−
2
3
μ
La viscosit´ e de compression n’est donc pas une quantit´ e intrins` eque au fluide alors
que χ T est intrins` eque et parfaitement mesurable, quel que soit le milieu consid´ er´ e,
gaz, liquide ou solide; la viscosit´ e de compression d´ epend de la constante du temps