11.3 Mod` ele multiphysique multimat´ eriaux
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Cette ´
etape permet ainsi le calcul lagrangien des diff´ erentes quantit´ es, en suivant
le syst` eme au cours du temps.
11.3.4 Etape eul´ erienne
La derni` ere ´
etape concerne l’advection des quantit´ es scalaires `
a partir des expressions des d´ eriv´ ees particulaires:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ V
∂t
=
dV
dt
− V · ∇V
∂ T
∂t
=
dT
dt
− V · ∇T
∂ p
∂t
=
d p
dt
− V · ∇p
∂ ρ
∂t
=
dρ
dt
− V · ∇ρ
Cette derni` ere ´
equation peut ˆ
etre remplac´ ee par l’expression exacte sur ρ, ρ =
ρ 0 e −dt ∇·V .
Le mod` ele permet ainsi d’obtenir la solution dans une formulation lagrangeeuler o` u les effets thermodynamiques sont r´ esolus dans la phase lagrangienne et
l’advection dans la phase eul´ erienne.
11.3.5 La pression en incompressible
En incompressible il est toujours possible d’ajouter un terme source correspondant
`
a un gradient d’une fonction quelconque dans l’´ equation de Navier-Stokes sans en
changer la solution.
La d´ ecomposition de Hodge-Helmholtz permet de d´ ecomposer un vecteur de
mani` ere unique en trois champs sous la forme V = V Φ + V Ψ + V h = ∇Φ + ∇ ×
Ψ + V h o` u Φ est le potentiel scalaire et Ψ est le potentiel vecteur. Le champ V h est
`
a la fois `
a divergence et `
a rotationnel nuls. Il s’´ ecrit V h = ∇Φ h = ∇ ×Ψ h .
Consid´ erons une fonction scalaire Φ(x) et appliquons l’op´ erateur gradient pour
obtenir un terme source volumique F = ∇Φ ajout´ e purement et simplement `
a
l’´ equation de Navier-Stokes et ce terme est directement associ´ e au ∇p existant. La
solution en vitesse n’en est pas affect´ ee mais la pression obtenue apr` es r´ esolution
devient p ∗ tel que