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11 Multiphysique
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ε
dΦ
dt
+ Φ = − k ∇T
dT
dt
= −
� β T
ρ c v χ T
�
∇ · V −
� 1
ρ c v
�
∇ · Φ +
q
ρ c v
+
φ
ρ c v
Le param` etre ε doit ˆ
etre retenu lorsque les constantes de temps sont inf´ erieures `
a
10 −9 , 10 −10 seconde pour lesquels les effets hyperboliques sont pr´ edominants; pour
des constantes de temps plus importantes ces effets peuvent ˆ
etre n´ eglig´ es et la loi de
Fourier est alors retrouv´ ee: Φ = −k∇T .
Pour autant il est n´ ecessaire de retenir le caract` ere vectoriel du syst` eme o` u la
variable est le flux Φ, la temp´ erature devient quant `
a elle un lagrangien comme la
pression.
Pour les inconditionnels des ´
equations scalaires il est toujours possible de r´ esoudre
l’´ equation de l’´ energie toujours en coordonn´ ees lagrangiennes sous la forme implicite:
dT
dt
= −
� β T
ρ c v χ T
�
∇ · V −
� 1
ρ c v
�
∇ · (−k ∇T ) +
q
ρ c v
+
φ
ρ c v
pour en tirer Φ = −k ∇T .
Le syst` eme d’´ equations final est compos´ e de deux ´
equations de conservation de
la quantit´ e de mouvement et du flux. Le nouvel ´
etat de l’´ equilibre thermodynamique
est fix´ e par les expressions de p et de T et des coefficients thermodynamiques.
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ρ
dV
dt
= −∇
� p o − dt ψ VV ∇ · V − dt ψ V Φ ∇ · Φ − dt ψ V q q − dt ψ V φ φ
� + f + ∇ ·
�
μ
�
∇V + ∇
t V −
2
3
∇ · V I
��
ε
dΦ
dt
+ Φ = − k ∇
� T o − dt ψ ΦV ∇ · V − dt ψ ΦΦ ∇ · Φ − dt ψ Φq q − dt ψ Φφ φ
�
p = p o − dt
� 1
χ T
+
β 2 T
ρ c v χ 2
T
�
∇ · V − dt
� β
ρ c v χ T
�
∇ · Φ + dt
β q
ρ c v χ T
+ dt
β φ
ρ c v χ T
T = T o − dt
� β T
ρ c v χ T
�
∇ · V − dt
� 1
ρ c v
�
∇ · Φ + dt
q
ρ c v
+ dt
φ
ρ c v
ρ = ρ 0 e
−dt ∇·V
Propri ´
et ´
es : χ T , β , c p , c v , μ, k
La r´ esolution implicite des deux ´
equations vectorielles permettent d’obtenir V et
Φ; elles peuvent ˆ
etre r´ esolues de mani` ere coupl´ ees au sein du mˆ eme syst` eme pour
avoir la solution (V, Φ). Le rel` evement des autres variables (p, ρ, T ) est r´ ealis´ e
explicitement. Les param` etres thermophysiques sont actualis´ es au mieux.
11 Multiphysique
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ε
dΦ
dt
+ Φ = − k ∇T
dT
dt
= −
� β T
ρ c v χ T
�
∇ · V −
� 1
ρ c v
�
∇ · Φ +
q
ρ c v
+
φ
ρ c v
Le param` etre ε doit ˆ
etre retenu lorsque les constantes de temps sont inf´ erieures `
a
10 −9 , 10 −10 seconde pour lesquels les effets hyperboliques sont pr´ edominants; pour
des constantes de temps plus importantes ces effets peuvent ˆ
etre n´ eglig´ es et la loi de
Fourier est alors retrouv´ ee: Φ = −k∇T .
Pour autant il est n´ ecessaire de retenir le caract` ere vectoriel du syst` eme o` u la
variable est le flux Φ, la temp´ erature devient quant `
a elle un lagrangien comme la
pression.
Pour les inconditionnels des ´
equations scalaires il est toujours possible de r´ esoudre
l’´ equation de l’´ energie toujours en coordonn´ ees lagrangiennes sous la forme implicite:
dT
dt
= −
� β T
ρ c v χ T
�
∇ · V −
� 1
ρ c v
�
∇ · (−k ∇T ) +
q
ρ c v
+
φ
ρ c v
pour en tirer Φ = −k ∇T .
Le syst` eme d’´ equations final est compos´ e de deux ´
equations de conservation de
la quantit´ e de mouvement et du flux. Le nouvel ´
etat de l’´ equilibre thermodynamique
est fix´ e par les expressions de p et de T et des coefficients thermodynamiques.
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ρ
dV
dt
= −∇
� p o − dt ψ VV ∇ · V − dt ψ V Φ ∇ · Φ − dt ψ V q q − dt ψ V φ φ
� + f + ∇ ·
�
μ
�
∇V + ∇
t V −
2
3
∇ · V I
��
ε
dΦ
dt
+ Φ = − k ∇
� T o − dt ψ ΦV ∇ · V − dt ψ ΦΦ ∇ · Φ − dt ψ Φq q − dt ψ Φφ φ
�
p = p o − dt
� 1
χ T
+
β 2 T
ρ c v χ 2
T
�
∇ · V − dt
� β
ρ c v χ T
�
∇ · Φ + dt
β q
ρ c v χ T
+ dt
β φ
ρ c v χ T
T = T o − dt
� β T
ρ c v χ T
�
∇ · V − dt
� 1
ρ c v
�
∇ · Φ + dt
q
ρ c v
+ dt
φ
ρ c v
ρ = ρ 0 e
−dt ∇·V
Propri ´
et ´
es : χ T , β , c p , c v , μ, k
La r´ esolution implicite des deux ´
equations vectorielles permettent d’obtenir V et
Φ; elles peuvent ˆ
etre r´ esolues de mani` ere coupl´ ees au sein du mˆ eme syst` eme pour
avoir la solution (V, Φ). Le rel` evement des autres variables (p, ρ, T ) est r´ ealis´ e
explicitement. Les param` etres thermophysiques sont actualis´ es au mieux.