11.3 Mod` ele multiphysique multimat´ eriaux
271
ρ
dh
dt
= −∇ · Φ +
d p
dt
+ q + φ
Finalement on obtient plusieurs formes ´
equivalentes de l’´ equation de l’´ energie
dans une formulation en temp´ erature:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ρ c p
� ∂ T
∂t
+ V · ∇T
�
= −∇ · Φ + β T
d p
dt
+ q + φ
ρ c v
� ∂ T
∂t
+ V · ∇T
�
= −∇ · Φ − α p T ∇ · V + q + φ
ρ c v
� ∂ T
∂t
+ V · ∇T
�
= −∇ · Φ −
β T
χ T
∇ · V + q + φ
L’une de ces formes de l’´ equation de l’´ energie peut servir `
a relever la temp´ erature
mais les plus adapt´ ees `
a une r´ esolution coupl´ ee en variables (V, Φ) restent les
deux derni` eres formes o` u les divergences de V et Φ sont quantit´ es importantes qui
traduisent les effets d’accumulation des flux. Elles interviennent directement et implicitement au sein des ´
equations vectorielles.
11.3.3 Equations de conservation vectorielles
Le syst` eme d’´ equations sera reformul´ e en s´ eparant les variables de flux de vitesse
et de chaleur des variables intensives scalaires, temp´ erature, pression, masse volumique.
En introduisant le coefficient de compressibilit´ e χ T li´ e aux coefficients de Lam´ e
et en s´ eparant les effets de compression des effets de viscosit´ e on obtient une expression ´
equivalente de l’´ equation de Navier-Stokes:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ρ
dV
dt
= −∇
�
p −
dt
χ T
∇ · V
�
+ f + ∇ ·
�
μ
�
∇V + ∇
t
V −
2
3
∇ · V I
��
dρ
dt
+ ρ ∇ · V = 0
L’´ equation de l’´ energie ne sera pas utilis´ ee directement, elle servira uniquement
au rel` evement de la temp´ erature `
a partir de la divergence des flux V et Φ.