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11 Multiphysique
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dT
dt
= −ψ ΦV ∇ · V − ψ ΦΦ ∇ · Φ + ψ ΦΦ q + ψ ΦΦ φ
d p
dt
= −ψ VV ∇ · V − ψ V Φ ∇ · Φ + ψ V Φ q + ψ V Φ φ
dρ
dt
= −ρ ∇ · V
o` u cette derni` ere ´
equation peut ˆ
etre int´ egr´ ee directement.
Les coefficients s’´ ecrivent sous la forme :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ψ VV =
� 1
χ T
+
β 2 T
ρ c v χ 2
T
�
=
� 2 μ + 3 λ
3
+
β 2 T
ρ c v χ 2
T
�
ψ V Φ =
β
ρ c v χ T
ψ ΦV =
β T
ρ c v χ T
ψ ΦΦ =
1
ρ c v
Les quantit´ es scalaires (p, ρ, T ) sont relev´ ees `
a partir de la divergence des quantit´ es vectorielles (V, Φ) et des apports internes, dissipation visqueuse et production
de chaleur.
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
T (V, Φ) = T 0 − dt ψ ΦV ∇ · V − dt ψ ΦΦ ∇ · Φ + dt ψ ΦΦ q + dt ψ ΦΦ φ
p(V, Φ) = p 0 − dt ψ VV ∇ · V − dt ψ V Φ ∇ · Φ + dt ψ V Φ q + dt ψ V Φ φ
ρ(V) = ρ 0 e
−dt ∇·V
Revenons sur l’´ equation de l’´ energie; en tenant compte de l’expression du tenseur
des contraintes pour un fluide newtonien l’´ equation de l’´ energie s’´ ecrit:
ρ
de
dt
= −∇ · Φ − p ∇ · V + q + φ
avec φ la fonction de dissipation:
φ = λ (∇ · V)
2 + 2μD i j
∂V i
∂ x j
ou, en introduisant l’enthalpie