11.3 Mod` ele multiphysique multimat´ eriaux
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modifi´ ee en int´ egrant les lois thermodynamiques au sein des ´
equations de conservation. L’´ equation de conservation de l’´ energie sera elle-mˆ eme reformul´ ee.
Examinons tout d’abord quels sont effets d´ ej` a pr´ esents au sein de ce syst` eme en
dissociant du terme visqueux la partie des effets visqueux de cisaillement des effets
de compressibilit´ e dans l’´ equation du mouvement:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dρ
dt
+ ρ ∇ · V = 0
ρ
dV
dt
= −∇
�
p −
3 λ + 2 μ
3
∇ · V
�
+ f + ∇ ·
�
μ
�
∇V + ∇
t
V −
2
3
∇ · V I
��
Si l’on ne consid` ere que les effets de compression ´
elastique due `
a une transformation isotherme, on voit que l’´ evolution de la pression de p `
a p + d p pendant
l’intervalle de temps dt est ´
egale `
a
d p = −
3 λ + 2 μ
3
∇ · V
Si, par exemple, le fluide contenu dans le syst` eme Ω est comprim´ e, alors ∇ · V
traduit la variation de volume au cours du temps; l’augmentation de pression est
alors donn´ ee par l’expression ci-dessous:
d p = −
1
χ T
dv
v
=
1
χ T
dρ
ρ
= −
dt
χ T
∇ · V
o` u v = 1/ρ est le volume sp´ ecifique.
Il est possible d’identifier la partie ´
elastique de variation de la pression dans
l’´ equation de Navier-Stokes `
a celle d´ eduite de la d´ efinition de d p pour obtenir
dt
χ T
=
3 λ + 2 μ
3
L’´ equation de Navier-Stokes contient d´ ej` a la r´ eaction `
a toute sollicitation ´
elastique
isotherme, compression, d´ etente, qui vise `
a modifier la divergence de la vitesse. Il
faut simplement y ajouter l’ensemble des autres effets m´ ecaniques et thermiques
qui ne sont pas pour autant des effets du second ordre. Il est d’ores et d´ ej` a `
a noter
que seules μ et χ T sont des quantit´ es objectivement mesurables. La viscosit´ e de
compression reste par contre un sujet de controverse.
Cette formulation fait de l’´ equation de Navier-Stokes une ´
equation autonome de
conservation de la quantit´ e de mouvement. La pression thermodynamique p n’est
plus qu’un accumulateur des diff´ erentes contraintes m´ ecaniques et thermiques qui
r´ ealisent l’´ equilibre thermodynamique. L’´ equation de conservation de la masse ne
sert qu’` a obtenir la masse volumique et ne doit plus ˆ
etre associ´ ee formellement `
a
l’´ equation du mouvement.
A ce stade on peut r´ e-´ ecrire les variations ´
el´ ementaires sous la forme:
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modifi´ ee en int´ egrant les lois thermodynamiques au sein des ´
equations de conservation. L’´ equation de conservation de l’´ energie sera elle-mˆ eme reformul´ ee.
Examinons tout d’abord quels sont effets d´ ej` a pr´ esents au sein de ce syst` eme en
dissociant du terme visqueux la partie des effets visqueux de cisaillement des effets
de compressibilit´ e dans l’´ equation du mouvement:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dρ
dt
+ ρ ∇ · V = 0
ρ
dV
dt
= −∇
�
p −
3 λ + 2 μ
3
∇ · V
�
+ f + ∇ ·
�
μ
�
∇V + ∇
t
V −
2
3
∇ · V I
��
Si l’on ne consid` ere que les effets de compression ´
elastique due `
a une transformation isotherme, on voit que l’´ evolution de la pression de p `
a p + d p pendant
l’intervalle de temps dt est ´
egale `
a
d p = −
3 λ + 2 μ
3
∇ · V
Si, par exemple, le fluide contenu dans le syst` eme Ω est comprim´ e, alors ∇ · V
traduit la variation de volume au cours du temps; l’augmentation de pression est
alors donn´ ee par l’expression ci-dessous:
d p = −
1
χ T
dv
v
=
1
χ T
dρ
ρ
= −
dt
χ T
∇ · V
o` u v = 1/ρ est le volume sp´ ecifique.
Il est possible d’identifier la partie ´
elastique de variation de la pression dans
l’´ equation de Navier-Stokes `
a celle d´ eduite de la d´ efinition de d p pour obtenir
dt
χ T
=
3 λ + 2 μ
3
L’´ equation de Navier-Stokes contient d´ ej` a la r´ eaction `
a toute sollicitation ´
elastique
isotherme, compression, d´ etente, qui vise `
a modifier la divergence de la vitesse. Il
faut simplement y ajouter l’ensemble des autres effets m´ ecaniques et thermiques
qui ne sont pas pour autant des effets du second ordre. Il est d’ores et d´ ej` a `
a noter
que seules μ et χ T sont des quantit´ es objectivement mesurables. La viscosit´ e de
compression reste par contre un sujet de controverse.
Cette formulation fait de l’´ equation de Navier-Stokes une ´
equation autonome de
conservation de la quantit´ e de mouvement. La pression thermodynamique p n’est
plus qu’un accumulateur des diff´ erentes contraintes m´ ecaniques et thermiques qui
r´ ealisent l’´ equilibre thermodynamique. L’´ equation de conservation de la masse ne
sert qu’` a obtenir la masse volumique et ne doit plus ˆ
etre associ´ ee formellement `
a
l’´ equation du mouvement.
A ce stade on peut r´ e-´ ecrire les variations ´
el´ ementaires sous la forme: