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11 Multiphysique
loi d’´ etat en calculant a posteriori la pression ou la masse volumique. Les propri´ et´ es
de transport, viscosit´ e μ et conductivit´ e thermique k seront aussi ´
evalu´ ees avec des
tables ou corr´ elations connues.
En utilisant l’´ equation de l’´ energie d´ eduite de l’´ energie interne pour la variation de p, les variations ´
el´ ementaires de pression, temp´ erature et masse volumique
s’´ ecrivent alors:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
d p
dt
= −
� 1
χ T
+
β 2 T
ρ c v χ 2
T
�
∇ · V −
� β
ρ c v χ T
�
∇ · Φ +
β q
ρ c v χ T
+
β φ
ρ c v χ T
dT
dt
= −
� β T
ρ c v χ T
�
∇ · V −
� 1
ρ c v
�
∇ · Φ +
q
ρ c v
+
φ
ρ c v
dρ
dt
= −ρ ∇ · V
o` u Φ = −k ∇T est le flux de diffusion. Les deux premi` eres relations font apparaˆ ıtre
les variables de flux et la conservation de la masse reste inchang´ ee.
On retrouve l’int´ egralit´ e des ph´ enom` enes physiques associ´ ee `
a chacun des termes
de ces relations. Par exemple l’augmentations de la pression due `
a une production de
chaleur au sein du domaine produit un d´ es´ equilibre thermodynamique qui conduit
`
a une vitesse, `
a une augmentation de la temp´ erature et `
a une masse volumique en
accord thermodynamique. Dans le cas d’´ equations d´ ecoupl´ ees il faudrait d’abord
r´ esoudre l’´ equation de l’´ energie, ensuite calculer ρ par l’´ equation d’´ etat pour obtenir
un effet sur la vitesse en r´ esolvant l’´ equation de Navier-Stokes.
11.3.2 Equations de conservation
Reprenons les ´
equations de conservation pour un fluide newtonien en formulation
non conservative:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dρ
dt
+ ρ ∇ · V = 0
ρ
dV
dt
= −∇p + f + ∇ ·
� μ
�
∇V + ∇
t
V
�� + ∇ (λ ∇ · V)
ρ
de
dt
= −∇ · Φ + σ : D + q
Sous cette forme il faudrait joindre `
a ce syst` eme une loi d’´ etat f (ρ, p, T ) = 0. Le
mod` ele multiphasique est bˆ ati sur ce syst` eme classique, seule la formulation sera