11.3 Mod` ele multiphysique multimat´ eriaux
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Deux autres quantit´ es vectorielles sont d´ efinies, V la vitesse locale et Φ le flux
de chaleur. Nous appellerons f la force volumique.
Physiquement l’´ etat du syst` eme va varier en fonction des flux de quantit´ e de
mouvement et de chaleur. La pression et la temp´ erature ´
evolueront donc en fonction
de V et de Φ. Par exemple un flux de chaleur fourni au syst` eme fera augmenter
la pression dans la cavit´ e ou une compression m´ ecanique du syst` eme conduira `
a
une ´
el´ evation de la temp´ erature. Plus exactement ce sont les diff´ erences de vitesses
ou de flux qui engendrent les variations ou plutˆ ot la divergence de la vitesse et la
divergence du flux.
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dT =
� ∂ T
∂ ρ
�
p
dρ +
� ∂ T
∂ p
�
ρ
d p
d p =
� ∂ p
∂ ρ
�
T
dρ +
� ∂ p
∂ T
�
ρ
dT
dρ = −dt ρ ∇ · V
R´ e-introduisons les d´ efinitions des diff´ erentes d´ eriv´ ees partielles correspondant
aux coefficients thermodynamiques pour un fluide divariant :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
α =
1
p
� ∂ p
∂ T
�
ρ
β = −
1
ρ
� ∂ ρ
∂ T
�
p
χ T =
1
ρ
� ∂ ρ
∂ p
�
T
c p =
� ∂ h
∂ T
�
p
c v =
� ∂ e
∂ T
�
ρ
Comme on sait que
� ∂ ρ
∂ T
�
p
� ∂ T
∂ p
�
ρ
� ∂ p
∂ ρ
�
T
= −1
la relation entre ces coefficients s’´ ecrit:
β
α p χ T
= 1
Le syst` eme d’´ equations fera ainsi apparaˆ ıtre ces seuls coefficients; les variables
d’´ etat (p, ρ, T ne seront pas ´
evalu´ ees par d’autres ´
equations ou lois d’´ etat, elles
seront remont´ ees `
a partir des variables vectorielles vitesse et flux. Ces coefficients
thermodynamiques seront calcul´ es `
a partir des lois d’´ etat (gaz parfait, Van der
Waals, Peng-Robinson, ...) dans des cas simples ou mieux, ´
evalu´ es `
a l’aide de tables
thermodynamiques tr` es pr´ ecises. Cette structure du syst` eme d’´ equations permettra
d’´ eviter la d´ ecorr´ elation des variables notamment due `
a la satisfaction locale de la
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Deux autres quantit´ es vectorielles sont d´ efinies, V la vitesse locale et Φ le flux
de chaleur. Nous appellerons f la force volumique.
Physiquement l’´ etat du syst` eme va varier en fonction des flux de quantit´ e de
mouvement et de chaleur. La pression et la temp´ erature ´
evolueront donc en fonction
de V et de Φ. Par exemple un flux de chaleur fourni au syst` eme fera augmenter
la pression dans la cavit´ e ou une compression m´ ecanique du syst` eme conduira `
a
une ´
el´ evation de la temp´ erature. Plus exactement ce sont les diff´ erences de vitesses
ou de flux qui engendrent les variations ou plutˆ ot la divergence de la vitesse et la
divergence du flux.
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dT =
� ∂ T
∂ ρ
�
p
dρ +
� ∂ T
∂ p
�
ρ
d p
d p =
� ∂ p
∂ ρ
�
T
dρ +
� ∂ p
∂ T
�
ρ
dT
dρ = −dt ρ ∇ · V
R´ e-introduisons les d´ efinitions des diff´ erentes d´ eriv´ ees partielles correspondant
aux coefficients thermodynamiques pour un fluide divariant :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
α =
1
p
� ∂ p
∂ T
�
ρ
β = −
1
ρ
� ∂ ρ
∂ T
�
p
χ T =
1
ρ
� ∂ ρ
∂ p
�
T
c p =
� ∂ h
∂ T
�
p
c v =
� ∂ e
∂ T
�
ρ
Comme on sait que
� ∂ ρ
∂ T
�
p
� ∂ T
∂ p
�
ρ
� ∂ p
∂ ρ
�
T
= −1
la relation entre ces coefficients s’´ ecrit:
β
α p χ T
= 1
Le syst` eme d’´ equations fera ainsi apparaˆ ıtre ces seuls coefficients; les variables
d’´ etat (p, ρ, T ne seront pas ´
evalu´ ees par d’autres ´
equations ou lois d’´ etat, elles
seront remont´ ees `
a partir des variables vectorielles vitesse et flux. Ces coefficients
thermodynamiques seront calcul´ es `
a partir des lois d’´ etat (gaz parfait, Van der
Waals, Peng-Robinson, ...) dans des cas simples ou mieux, ´
evalu´ es `
a l’aide de tables
thermodynamiques tr` es pr´ ecises. Cette structure du syst` eme d’´ equations permettra
d’´ eviter la d´ ecorr´ elation des variables notamment due `
a la satisfaction locale de la