11.3 Mod` ele multiphysique multimat´ eriaux
265
du domaine d’´ etude des propri´ et´ es mat´ erielles correspondant `
a celles d’un solide.
En p´ enalisant localement un ´
ecoulement selon la viscosit´ e de rotation η → +∞, on
modifie le mod` ele tel que :
∇ · (∇V − ∇
t
V) = 0
Pour assurer `
a une zone solide son immobilit´ e, il faut en plus caract´ eriser l’´ ecoulement
par un cisaillement local nul. En utilisant la viscosit´ e d´ edi´ ee `
a cet effet, soit
ζ → +∞, on modifie le mod` ele tel que
⎡
⎢
⎢
⎣
0
∂ u
∂ y
∂ u
∂ z
∂ v
∂ x 0
∂ v
∂ z
∂ w
∂ x
∂ w
∂ y 0
⎤
⎥
⎥
⎦ −
⎡
⎢
⎢
⎣
0
∂ u
∂ y −
∂ v
∂ x
∂ u
∂ z −
∂ w
∂ x
∂ v
∂ x −
∂ u
∂ y
0
∂ v
∂ z −
∂ w
∂ y
∂ w
∂ x −
∂ u
∂ z
∂ w
∂ y −
∂ v
∂ z
0
⎤
⎥
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎢
⎣
0
∂ v
∂ x
∂ w
∂ x
∂ u
∂ y 0
∂ w
∂ y
∂ u
∂ z
∂ v
∂ z 0
⎤
⎥
⎥
⎦ = 0
En combinant le r´ esultat pr´ ec´ edent avec la d´ efinition du taux de rotation local de
la mati` ere ω, on montre que choisir η → +∞ et ζ → +∞ implique que ∇ × V = 0,
soit ω = 0.
L’utilisation des viscosit´ es pour traiter un solide dans un ´
ecoulement comme un fluide aux propri´ et´ es rh´ eologiques particuli` eres (rotation constante et ´
eventuellement
cisaillement nul) permet avec le mˆ eme syst` eme d’´ equations et la mˆ eme discr´ etisation
de r´ esoudre par simulation num´ erique directe l’interaction entre un obstacle et un
fluide en mouvement ou mˆ eme les ´
ecoulements induits par un solide en mouvement.
11.3 Mod` ele multiphysique multimat´ eriaux
Les enjeux de ces prochaines d´ ecennies r´ esident dans la capacit´ e des diff´ erentes
communaut´ es, physiciens, math´ ematiciens, ...` a appr´ ehender des probl` emes complexes qui font intervenir des physiques tr` es diff´ erentes dans l’espace et dans
le temps, des ´
echelles tr` es diff´ erentes et des mat´ eriaux de propri´ et´ es variables.
L’´ etablissement des syst` emes ´
equations ne se r´ eduit pas `
a une simple compilation
d’´ equations connues r´ esolues en s´ equence, les couplages devront ˆ
etre coh´ erents,
monolithiques afin d’obtenir une solution r´ ealiste.
Contrairement aux id´ ees rec ¸ues l’augmentation de degr´ es de libert´ e des simulations num´ eriques ne permettra pas de r´ esoudre de tels probl` emes, il sera n´ ecessaire
d’abord de cr´ eer des mod` eles ad´ equats. Il ne suffit pas de collecter quelques
´
equations standards et de les assembler, la mod´ elisation doit ˆ
etre bas´ ee sur la bonne
compr´ ehension des diff´ erents ph´ enom` enes physiques du probl` eme pos´ e.
Le mod` ele original pr´ esent´ e s´ epare les ´
evolutions de la vitesse et du flux au cours
du mouvement par des effets thermodynamiques des ´
evolutions spatiales dues `
a
l’advection des diff´ erentes quantit´ es intensives scalaires. Le mod` ele est constitu´ e
d’une phase lagrangienne portant sur les vecteurs (V,Φ) et d’une phase eul´ erienne
sur l’advection des autres quantit´ es (T, p, ρ).
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du domaine d’´ etude des propri´ et´ es mat´ erielles correspondant `
a celles d’un solide.
En p´ enalisant localement un ´
ecoulement selon la viscosit´ e de rotation η → +∞, on
modifie le mod` ele tel que :
∇ · (∇V − ∇
t
V) = 0
Pour assurer `
a une zone solide son immobilit´ e, il faut en plus caract´ eriser l’´ ecoulement
par un cisaillement local nul. En utilisant la viscosit´ e d´ edi´ ee `
a cet effet, soit
ζ → +∞, on modifie le mod` ele tel que
⎡
⎢
⎢
⎣
0
∂ u
∂ y
∂ u
∂ z
∂ v
∂ x 0
∂ v
∂ z
∂ w
∂ x
∂ w
∂ y 0
⎤
⎥
⎥
⎦ −
⎡
⎢
⎢
⎣
0
∂ u
∂ y −
∂ v
∂ x
∂ u
∂ z −
∂ w
∂ x
∂ v
∂ x −
∂ u
∂ y
0
∂ v
∂ z −
∂ w
∂ y
∂ w
∂ x −
∂ u
∂ z
∂ w
∂ y −
∂ v
∂ z
0
⎤
⎥
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎢
⎣
0
∂ v
∂ x
∂ w
∂ x
∂ u
∂ y 0
∂ w
∂ y
∂ u
∂ z
∂ v
∂ z 0
⎤
⎥
⎥
⎦ = 0
En combinant le r´ esultat pr´ ec´ edent avec la d´ efinition du taux de rotation local de
la mati` ere ω, on montre que choisir η → +∞ et ζ → +∞ implique que ∇ × V = 0,
soit ω = 0.
L’utilisation des viscosit´ es pour traiter un solide dans un ´
ecoulement comme un fluide aux propri´ et´ es rh´ eologiques particuli` eres (rotation constante et ´
eventuellement
cisaillement nul) permet avec le mˆ eme syst` eme d’´ equations et la mˆ eme discr´ etisation
de r´ esoudre par simulation num´ erique directe l’interaction entre un obstacle et un
fluide en mouvement ou mˆ eme les ´
ecoulements induits par un solide en mouvement.
11.3 Mod` ele multiphysique multimat´ eriaux
Les enjeux de ces prochaines d´ ecennies r´ esident dans la capacit´ e des diff´ erentes
communaut´ es, physiciens, math´ ematiciens, ...` a appr´ ehender des probl` emes complexes qui font intervenir des physiques tr` es diff´ erentes dans l’espace et dans
le temps, des ´
echelles tr` es diff´ erentes et des mat´ eriaux de propri´ et´ es variables.
L’´ etablissement des syst` emes ´
equations ne se r´ eduit pas `
a une simple compilation
d’´ equations connues r´ esolues en s´ equence, les couplages devront ˆ
etre coh´ erents,
monolithiques afin d’obtenir une solution r´ ealiste.
Contrairement aux id´ ees rec ¸ues l’augmentation de degr´ es de libert´ e des simulations num´ eriques ne permettra pas de r´ esoudre de tels probl` emes, il sera n´ ecessaire
d’abord de cr´ eer des mod` eles ad´ equats. Il ne suffit pas de collecter quelques
´
equations standards et de les assembler, la mod´ elisation doit ˆ
etre bas´ ee sur la bonne
compr´ ehension des diff´ erents ph´ enom` enes physiques du probl` eme pos´ e.
Le mod` ele original pr´ esent´ e s´ epare les ´
evolutions de la vitesse et du flux au cours
du mouvement par des effets thermodynamiques des ´
evolutions spatiales dues `
a
l’advection des diff´ erentes quantit´ es intensives scalaires. Le mod` ele est constitu´ e
d’une phase lagrangienne portant sur les vecteurs (V,Φ) et d’une phase eul´ erienne
sur l’advection des autres quantit´ es (T, p, ρ).