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11 Multiphysique
la pression thermodynamique [9]. Une expression de la pression est ainsi obtenue
directement `
a partir de la trace de σ i j
tr(σ i j ) = 3p − (3λ + δ )∇ · V = 0
Soit quand
δ
λ
→ +∞,
p − λ ∇ · V = 0
En remplac ¸ant le gradient de pression discr´ etis´ e en temps dans les ´
equations de
Navier-Stokes par son expression et en augmentant artificiellement la valeur de la
viscosit´ e de compression telle que λ → +∞, la divergence de la vitesse tend progressivement vers 0, tandis que la pression s’adapte automatiquement en fonction
de la divergence.
On peut montrer que cette m´ ethode est ´
equivalente `
a la technique du lagrangien augment´ e o` u la viscosit´ e λ est remplac´ ee par le param` etre num´ erique du lagrangien. La
r´ esolution implicite de ce syst` eme d’´ equations coupl´ ees conduit `
a une divergence
nulle (` a la pr´ ecision machine) `
a convergence. Le maintien d’une divergence nulle `
a
chaque it´ eration peut ˆ
etre assur´ e par exemple par la m´ ethode de projection vectorielle [4].
La m´ ethode pr´ esent´ ee pour satisfaire la contrainte d’incompressibilit´ e conduit `
a
des valeurs de λ qui ne satisfont ´
evidemment plus l’hypoth` ese de Stokes. Ceci ne
pose aucune difficult´ e dans la mesure o` u le terme ∇ (λ ∇ · V) dans les ´
equations de
Navier-Stokes n’a plus de sens pour un ´
ecoulement incompressible.
11.2.3 P´ enalisation de la contrainte de rotation
En pr´ esence de solides mobiles dans un ´
ecoulement, on souhaite, dans un souci
de simplicit´ e, mod´ eliser les contraintes m´ ecaniques qui op` erent dans les diff´ erents
mat´ eriaux au moyen du mˆ eme syst` eme d’´ equations. En tout point d’un objet
ind´ eformable en mouvement de rotation uniforme, la vitesse de rotation ω est constante. Soit
∇ × V = 2ω = constante
En remarquant que ∇(∇ · V) = ∇ · (∇
t
V), on obtient alors :
∇ × ∇ × V = ∇(∇ · V) − ∇ · (∇V) = −∇ · (∇V − ∇
t
V) = −∇ · Ω
On peut remarquer que l’expression pr´ ec´ edente fait apparaˆ ıtre une forme diff´ erentielle
identique `
a celle du tenseur de rotation qui existe dans σ . Ainsi, `
a partir de la reformulation des ´
equations de Navier-Stokes et en utilisant les diff´ erentes viscosit´ es
introduites `
a la section pr´ ec´ edente, il est possible de donner `
a un volume quelconque
11 Multiphysique
la pression thermodynamique [9]. Une expression de la pression est ainsi obtenue
directement `
a partir de la trace de σ i j
tr(σ i j ) = 3p − (3λ + δ )∇ · V = 0
Soit quand
δ
λ
→ +∞,
p − λ ∇ · V = 0
En remplac ¸ant le gradient de pression discr´ etis´ e en temps dans les ´
equations de
Navier-Stokes par son expression et en augmentant artificiellement la valeur de la
viscosit´ e de compression telle que λ → +∞, la divergence de la vitesse tend progressivement vers 0, tandis que la pression s’adapte automatiquement en fonction
de la divergence.
On peut montrer que cette m´ ethode est ´
equivalente `
a la technique du lagrangien augment´ e o` u la viscosit´ e λ est remplac´ ee par le param` etre num´ erique du lagrangien. La
r´ esolution implicite de ce syst` eme d’´ equations coupl´ ees conduit `
a une divergence
nulle (` a la pr´ ecision machine) `
a convergence. Le maintien d’une divergence nulle `
a
chaque it´ eration peut ˆ
etre assur´ e par exemple par la m´ ethode de projection vectorielle [4].
La m´ ethode pr´ esent´ ee pour satisfaire la contrainte d’incompressibilit´ e conduit `
a
des valeurs de λ qui ne satisfont ´
evidemment plus l’hypoth` ese de Stokes. Ceci ne
pose aucune difficult´ e dans la mesure o` u le terme ∇ (λ ∇ · V) dans les ´
equations de
Navier-Stokes n’a plus de sens pour un ´
ecoulement incompressible.
11.2.3 P´ enalisation de la contrainte de rotation
En pr´ esence de solides mobiles dans un ´
ecoulement, on souhaite, dans un souci
de simplicit´ e, mod´ eliser les contraintes m´ ecaniques qui op` erent dans les diff´ erents
mat´ eriaux au moyen du mˆ eme syst` eme d’´ equations. En tout point d’un objet
ind´ eformable en mouvement de rotation uniforme, la vitesse de rotation ω est constante. Soit
∇ × V = 2ω = constante
En remarquant que ∇(∇ · V) = ∇ · (∇
t
V), on obtient alors :
∇ × ∇ × V = ∇(∇ · V) − ∇ · (∇V) = −∇ · (∇V − ∇
t
V) = −∇ · Ω
On peut remarquer que l’expression pr´ ec´ edente fait apparaˆ ıtre une forme diff´ erentielle
identique `
a celle du tenseur de rotation qui existe dans σ . Ainsi, `
a partir de la reformulation des ´
equations de Navier-Stokes et en utilisant les diff´ erentes viscosit´ es
introduites `
a la section pr´ ec´ edente, il est possible de donner `
a un volume quelconque