11.2 Modification des termes visqueux
263
+ ζ
⎡
⎢
⎢
⎣
0
∂ u
∂ y
∂ u
∂ z
∂ v
∂ x 0
∂ v
∂ z
∂ w
∂ x
∂ w
∂ y 0
⎤
⎥
⎥
⎦ − η
⎡
⎢
⎢
⎣
0
∂ u
∂ y −
∂ v
∂ x
∂ u
∂ z −
∂ w
∂ x
∂ v
∂ x −
∂ u
∂ y
0
∂ v
∂ z −
∂ w
∂ y
∂ w
∂ x −
∂ u
∂ z
∂ w
∂ y −
∂ v
∂ z
0
⎤
⎥
⎥
⎦
on arrive alors `
a une forme d´ ecompos´ ee originale du tenseur des contraintes qui fait
apparaˆ ıtre artificiellement de nouveaux coefficients de viscosit´ e
σ i j = (−p + λ ∇ · V) δ i j + δ Λ i j + ζ Ξ i j − η Γ i j
o` u :
λ est la viscosit´ e de compression
δ est la viscosit´ e ´
elongationnelle
ζ est la viscosit´ e de cisaillement
η est la viscosit´ e de rotation
La forme habituelle de l’expression du tenseur des contraintes visqueuses peut ˆ
etre
obtenue en affectant aux viscosit´ es les valeurs suivantes : λ = −2/3μ, δ = 2μ,
ζ = 2μ, η = μ.
La divergence du tenseur des contraintes σ fait intervenir 4 termes diff´ erents,
soient le tenseur de compression ∇ · V, le tenseur d’´ elongation Λ , le tenseur de
cisaillement pur Ξ et le tenseur de rotation Γ , qui sont associ´ es `
a 4 ph´ enom` enes
caract´ eristiques d’un ´
ecoulement :
∇ · σ = −∇ (p − λ ∇ · V) + ∇ · (δ Λ) + ∇ · (ζ Ξ) − ∇ · (η Γ )
L’int´ erˆ et de cette formulation est de dissocier les contraintes qui interviennent
dans un ´
ecoulement de fluide visqueux, ce qui facilite l’utilisation d’une m´ ethode
num´ erique de p´ enalisation, par le biais des viscosit´ es λ , δ , ζ et η, pour satisfaire
pr´ ecis´ ement un type de contrainte.
La d´ ecomposition pr´ ec´ edente du tenseur des contraintes visqueuses doit ˆ
etre int´ egr´ ee
dans l’´ equation de l’´ energie pour que la formulation soit coh´ erente. On remplace
donc les termes −
β
χ T
T ∇ · V + μΦ(V) par le tenseur g´ en´ erique σ : ∇V ´
ecrit selon la
th´ eorie expos´ ee pr´ ec´ edemment.
11.2.2 P´ enalisation de la contrainte d’incompressibilit´ e
Un certain nombre de m´ ethodes de r´ esolution des ´
equations de Navier-Stokes permet d’assurer la contrainte d’incompressibilit´ e ∇ · V = 0 telles que les m´ ethodes de
perturbation (Temam), de compressibilit´ e artificielle (Chorin), de projection scalaire
[10], [27] ou vectorielle [4], de lagrangien augment´ e [16], [36], etc. A partir de la
formulation pr´ ec´ edente, il est possible de construire une m´ ethode de p´ enalisation
qui utilise la viscosit´ e de compression λ pour maintenir l’incompressibilit´ e.
Pour un ´
ecoulement incompressible, on montre que la trace du tenseur des contraintes doit ˆ
etre identiquement nulle pour que la pression m´ ecanique soit ´
egale `
a
263
+ ζ
⎡
⎢
⎢
⎣
0
∂ u
∂ y
∂ u
∂ z
∂ v
∂ x 0
∂ v
∂ z
∂ w
∂ x
∂ w
∂ y 0
⎤
⎥
⎥
⎦ − η
⎡
⎢
⎢
⎣
0
∂ u
∂ y −
∂ v
∂ x
∂ u
∂ z −
∂ w
∂ x
∂ v
∂ x −
∂ u
∂ y
0
∂ v
∂ z −
∂ w
∂ y
∂ w
∂ x −
∂ u
∂ z
∂ w
∂ y −
∂ v
∂ z
0
⎤
⎥
⎥
⎦
on arrive alors `
a une forme d´ ecompos´ ee originale du tenseur des contraintes qui fait
apparaˆ ıtre artificiellement de nouveaux coefficients de viscosit´ e
σ i j = (−p + λ ∇ · V) δ i j + δ Λ i j + ζ Ξ i j − η Γ i j
o` u :
λ est la viscosit´ e de compression
δ est la viscosit´ e ´
elongationnelle
ζ est la viscosit´ e de cisaillement
η est la viscosit´ e de rotation
La forme habituelle de l’expression du tenseur des contraintes visqueuses peut ˆ
etre
obtenue en affectant aux viscosit´ es les valeurs suivantes : λ = −2/3μ, δ = 2μ,
ζ = 2μ, η = μ.
La divergence du tenseur des contraintes σ fait intervenir 4 termes diff´ erents,
soient le tenseur de compression ∇ · V, le tenseur d’´ elongation Λ , le tenseur de
cisaillement pur Ξ et le tenseur de rotation Γ , qui sont associ´ es `
a 4 ph´ enom` enes
caract´ eristiques d’un ´
ecoulement :
∇ · σ = −∇ (p − λ ∇ · V) + ∇ · (δ Λ) + ∇ · (ζ Ξ) − ∇ · (η Γ )
L’int´ erˆ et de cette formulation est de dissocier les contraintes qui interviennent
dans un ´
ecoulement de fluide visqueux, ce qui facilite l’utilisation d’une m´ ethode
num´ erique de p´ enalisation, par le biais des viscosit´ es λ , δ , ζ et η, pour satisfaire
pr´ ecis´ ement un type de contrainte.
La d´ ecomposition pr´ ec´ edente du tenseur des contraintes visqueuses doit ˆ
etre int´ egr´ ee
dans l’´ equation de l’´ energie pour que la formulation soit coh´ erente. On remplace
donc les termes −
β
χ T
T ∇ · V + μΦ(V) par le tenseur g´ en´ erique σ : ∇V ´
ecrit selon la
th´ eorie expos´ ee pr´ ec´ edemment.
11.2.2 P´ enalisation de la contrainte d’incompressibilit´ e
Un certain nombre de m´ ethodes de r´ esolution des ´
equations de Navier-Stokes permet d’assurer la contrainte d’incompressibilit´ e ∇ · V = 0 telles que les m´ ethodes de
perturbation (Temam), de compressibilit´ e artificielle (Chorin), de projection scalaire
[10], [27] ou vectorielle [4], de lagrangien augment´ e [16], [36], etc. A partir de la
formulation pr´ ec´ edente, il est possible de construire une m´ ethode de p´ enalisation
qui utilise la viscosit´ e de compression λ pour maintenir l’incompressibilit´ e.
Pour un ´
ecoulement incompressible, on montre que la trace du tenseur des contraintes doit ˆ
etre identiquement nulle pour que la pression m´ ecanique soit ´
egale `
a