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11 Multiphysique
par une relation isotrope.
Les ´
equations de Navier-Stokes dans leur formulation conservative compressible
d´ edi´ ee aux fluides newtoniens peuvent alors s’´ ecrire :
∂ ρ
∂t
+ ∇ · (ρV) = 0
∂ ρu
∂t
+ ∇ · (ρV ⊗ V) = −∇p + ρ g + ∇ ·
� μ
�
∇V + ∇
t
V
��
− ∇ (λ ∇ · V)
Cette forme classique des ´
equations de conservation de la masse et de la quantit´ e de mouvement n´ ecessite un couplage entre les diff´ erentes contraintes et les
´
equations de conservation. Notamment dans le cas d’un ´
ecoulement incompressible la contrainte ∇ · V = 0 peut ˆ
etre assur´ ee par diff´ erentes m´ ethodes : m´ ethode de
projection, lagrangien augment´ e, etc.
L’objectif est ici de reformuler le probl` eme de mani` ere `
a faire appˆ ıˆ ıtre les
diff´ erentes contributions naturelles du tenseur des contraintes relatives `
a la compression, au cisaillement et `
a la rotation. L’int´ erˆ et de cette d´ ecomposition est de pouvoir
ensuite p´ enaliser s´ epar´ ement chacun des termes de mani` ere `
a imposer fortement les
contraintes associ´ ees. On peut supposer que les ´
equations de Navier-Stokes contiennent l’ensemble des contributions physiques traduisant les effets de compressibilit´ e,
de frottement, etc. Leur s´ eparation permet alors d’agir de mani` ere diff´ erentielle
en modifiant les ordres de grandeur de chacun de ces termes directement dans
l’´ equation du mouvement.
Commenc ¸ons par d´ ecomposer le tenseur d’ordre deux ∇ i j correspondant au
gradient d’une variable vectorielle en une partie sym´ etrique D i j et une partie
asym´ etrique Ω i j :
∇ i j =
1
2
(∇ i j + ∇ ji ) +
1
2
(∇ i j − ∇ ji ) = D i j + Ω i j
le tenseur des contraintes se r´ e´ ecrit alors sous la forme :
σ i j = −p δ i j + λ ∇ · V δ i j + 2 μD i j = −p δ i j + λ ∇ · V δ i j + 2 μ (∇ i j − Ω i j )
Soit en d´ ecomposant dans ∇ i j − Ω i j les contributions sph´ eriques des autres contributions de cisaillement pur et de rotation pure :
σ =
⎡
⎢
⎣
−p + λ ∇ · V
0
0
0
−p + λ ∇ · V
0
0
0
−p + λ ∇ · V
⎤
⎥
⎦ + δ
⎡
⎢
⎢
⎣
∂ u
∂ x 0 0
0
∂ v
∂ y 0
0 0
∂ w
∂ z
⎤
⎥
⎥
⎦
11 Multiphysique
par une relation isotrope.
Les ´
equations de Navier-Stokes dans leur formulation conservative compressible
d´ edi´ ee aux fluides newtoniens peuvent alors s’´ ecrire :
∂ ρ
∂t
+ ∇ · (ρV) = 0
∂ ρu
∂t
+ ∇ · (ρV ⊗ V) = −∇p + ρ g + ∇ ·
� μ
�
∇V + ∇
t
V
��
− ∇ (λ ∇ · V)
Cette forme classique des ´
equations de conservation de la masse et de la quantit´ e de mouvement n´ ecessite un couplage entre les diff´ erentes contraintes et les
´
equations de conservation. Notamment dans le cas d’un ´
ecoulement incompressible la contrainte ∇ · V = 0 peut ˆ
etre assur´ ee par diff´ erentes m´ ethodes : m´ ethode de
projection, lagrangien augment´ e, etc.
L’objectif est ici de reformuler le probl` eme de mani` ere `
a faire appˆ ıˆ ıtre les
diff´ erentes contributions naturelles du tenseur des contraintes relatives `
a la compression, au cisaillement et `
a la rotation. L’int´ erˆ et de cette d´ ecomposition est de pouvoir
ensuite p´ enaliser s´ epar´ ement chacun des termes de mani` ere `
a imposer fortement les
contraintes associ´ ees. On peut supposer que les ´
equations de Navier-Stokes contiennent l’ensemble des contributions physiques traduisant les effets de compressibilit´ e,
de frottement, etc. Leur s´ eparation permet alors d’agir de mani` ere diff´ erentielle
en modifiant les ordres de grandeur de chacun de ces termes directement dans
l’´ equation du mouvement.
Commenc ¸ons par d´ ecomposer le tenseur d’ordre deux ∇ i j correspondant au
gradient d’une variable vectorielle en une partie sym´ etrique D i j et une partie
asym´ etrique Ω i j :
∇ i j =
1
2
(∇ i j + ∇ ji ) +
1
2
(∇ i j − ∇ ji ) = D i j + Ω i j
le tenseur des contraintes se r´ e´ ecrit alors sous la forme :
σ i j = −p δ i j + λ ∇ · V δ i j + 2 μD i j = −p δ i j + λ ∇ · V δ i j + 2 μ (∇ i j − Ω i j )
Soit en d´ ecomposant dans ∇ i j − Ω i j les contributions sph´ eriques des autres contributions de cisaillement pur et de rotation pure :
σ =
⎡
⎢
⎣
−p + λ ∇ · V
0
0
0
−p + λ ∇ · V
0
0
0
−p + λ ∇ · V
⎤
⎥
⎦ + δ
⎡
⎢
⎢
⎣
∂ u
∂ x 0 0
0
∂ v
∂ y 0
0 0
∂ w
∂ z
⎤
⎥
⎥
⎦