11.2 Modification des termes visqueux
261
On remarque notamment que la solution du mod` ele de Darcy est la mˆ eme que
celle du mod` ele d’Euler (fluide parfait) alors que les ph´ enom` enes physiques n’on
rien de commun entre eux. Il est `
a remarquer que l’´ equation obtenue ∇ 2 ψ = 0 est la
mˆ eme (potentiel des vitesses et fonction de courant sont des fonctions harmoniques).
De nombreuses solutions analytiques peuvent ˆ
etre trouv´ ees `
a partir de l’´ equation
de Navier-Stokes-Darcy. Elles correspondent `
a des situations ou le cylindre est
poreux et le milieu ext´ erieur fluide, ou les deux poreux. On peut montrer que le
passage aux limites est possible en faisant tendre le nombre de Darcy vers l’infini
ou vers z´ ero. Le paradoxe de Stokes mis en ´
evidence pour un cylindre dans un milieu fluide est ici lev´ e par l’introduction d’un amas de particules fixes ´
evanescentes
dans le milieu fluide.
11.2 Modification des termes visqueux
11.2.1 Reformulation du tenseur des contraintes
Une approche originale [5] pr´ esent´ ee ci-dessous, consiste en une reformulation du
tenseur des contraintes en quatre tn,seurs associ´ es chacune `
a une viscosit´ e. Du point
de vue physique cette approche permet de mettre en ´
evidence les diff´ erentes contributions de la notion de viscosit´ e sur la diffusion de la quantit´ e de mouvement et du
point de vue num´ erique permettre la p´ enalisation s´ elective de chacun des termes.
Pour un fluide newtonien le tenseur des contraintes σ s’´ ecrit :
σ i j = −p δ i j + λ ∇ · V δ i j + 2μ D i j
o` u λ et μ sont respectivement les viscosit´ es de dilatation et de cisaillement et D le
tenseur des taux de d´ eformation.
L’introduction de la viscosit´ e de volume permet de mettre en ´
evidence la contribution sph´ erique des contraintes de viscosit´ e. On peut l’exprimer en fonction des
viscosit´ es de dilatation et de cisaillement :
ξ = λ +
2μ
3
Classiquement l’´ etablissement du tenseur des contraintes visqueuses suppose que le
fluide est homog` ene et que les composantes du tenseur des contraintes s’annulent
pour un ´
ecoulement constant ou pour un ´
ecoulement en rotation uniforme V =
Ω × r. De plus, les composantes σ i j s’expriment lin´ eairement par rapport aux
d´ eriv´ ees et sont exactement ´
egales et oppos´ ees en signe `
a la pression hydrostatique
lorsque le fluide est au repos. En outre, on suppose qu’il n’existe pas de direction
privil´ egi´ ee dans le fluide. La vitesse et les contraintes de viscosit´ e sont ainsi reli´ ees
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On remarque notamment que la solution du mod` ele de Darcy est la mˆ eme que
celle du mod` ele d’Euler (fluide parfait) alors que les ph´ enom` enes physiques n’on
rien de commun entre eux. Il est `
a remarquer que l’´ equation obtenue ∇ 2 ψ = 0 est la
mˆ eme (potentiel des vitesses et fonction de courant sont des fonctions harmoniques).
De nombreuses solutions analytiques peuvent ˆ
etre trouv´ ees `
a partir de l’´ equation
de Navier-Stokes-Darcy. Elles correspondent `
a des situations ou le cylindre est
poreux et le milieu ext´ erieur fluide, ou les deux poreux. On peut montrer que le
passage aux limites est possible en faisant tendre le nombre de Darcy vers l’infini
ou vers z´ ero. Le paradoxe de Stokes mis en ´
evidence pour un cylindre dans un milieu fluide est ici lev´ e par l’introduction d’un amas de particules fixes ´
evanescentes
dans le milieu fluide.
11.2 Modification des termes visqueux
11.2.1 Reformulation du tenseur des contraintes
Une approche originale [5] pr´ esent´ ee ci-dessous, consiste en une reformulation du
tenseur des contraintes en quatre tn,seurs associ´ es chacune `
a une viscosit´ e. Du point
de vue physique cette approche permet de mettre en ´
evidence les diff´ erentes contributions de la notion de viscosit´ e sur la diffusion de la quantit´ e de mouvement et du
point de vue num´ erique permettre la p´ enalisation s´ elective de chacun des termes.
Pour un fluide newtonien le tenseur des contraintes σ s’´ ecrit :
σ i j = −p δ i j + λ ∇ · V δ i j + 2μ D i j
o` u λ et μ sont respectivement les viscosit´ es de dilatation et de cisaillement et D le
tenseur des taux de d´ eformation.
L’introduction de la viscosit´ e de volume permet de mettre en ´
evidence la contribution sph´ erique des contraintes de viscosit´ e. On peut l’exprimer en fonction des
viscosit´ es de dilatation et de cisaillement :
ξ = λ +
2μ
3
Classiquement l’´ etablissement du tenseur des contraintes visqueuses suppose que le
fluide est homog` ene et que les composantes du tenseur des contraintes s’annulent
pour un ´
ecoulement constant ou pour un ´
ecoulement en rotation uniforme V =
Ω × r. De plus, les composantes σ i j s’expriment lin´ eairement par rapport aux
d´ eriv´ ees et sont exactement ´
egales et oppos´ ees en signe `
a la pression hydrostatique
lorsque le fluide est au repos. En outre, on suppose qu’il n’existe pas de direction
privil´ egi´ ee dans le fluide. La vitesse et les contraintes de viscosit´ e sont ainsi reli´ ees