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11 Multiphysique
avec V 0 = 1.
La vitesse complexe s’´ ecrit :
ζ (z) =
1 −
1
z 2
soit
f (z) =
r e
i θ −
1
r
e
−i θ
d’o` u la fonction de courant :
ψ(r, θ ) =
r −
1
r
sin θ
Le module de la vitesse est :
q = 2 sin θ
Le calcul de la pression donne :
p − p 0 =
1
2
ρ
1 − 4 sin
2
θ
11.1.6.4 Mod` ele de Brinkman
Afin d’obtenir la solution dans le cadre de ce mod` ele reprenons l’´ equation:
−∇p + μ∇
2
V −
μ
K
V = 0
En posant Da = K/R 2 , le nombre de Darcy et rendant le syst` eme d’´ equations adimensionnelles, on a:
−∇p + ∇
2
V −
1
Da
V = 0
En adoptant σ = 1/
(Da), on trouve la solution g´ en´ erale :
ψ(r, θ ) =
A
2 σ 2 r
−
B
σ 2 r +C K 1 (σ r)
En appliquant les conditions aux limites d’adh´ erence sur le cylindre et de raccordement `
a la solution d’Oseen `
a l’infini on a :
ψ(r, θ ) =
−
(σ K 0 (σ ) + 2 K 1 (σ ))
σ K 0 (σ )
1
r
+ r +
2
σ K 0 (σ )
K 1 (σ r)
sin θ