11.1 Sur une approche globale Navier-Stokes - Brinkman - Darcy
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11.1.6.2 Mod` ele de Stokes
⎧
⎨
⎩
∇ 2 ∇ 2 ψ = 0
r ⇒ ∞ ψ = r sin θ
r = 1 ψ = 0, ∂ ψ/∂ r = 0
On cherche des solutions de la forme :
ψ(r, θ ) = f (r) sin θ
on obtient :
� r 4 f ���� + 2r 3 f ��� − 3r 2 f �� + 3r f � − 3 f = 0
f (1) = f � (1) = 0
Pour trouver f on cherche des solutions de la forme f (r) = r n u(r)
On trouve :
f (r) = A r
3
+ B r Logr +C r +
D
r
A, B, C, D sont des constantes arbitraires.
D’apr` es la condition `
a la limite pour r → ∞ on doit raccorder avec f (r) ∝ r d’o` u
A = 0.
On a de plus
� C + D = 0
B +C − D = 0
La solution du probl` eme s’´ ecrit avec une seule constante ind´ etermin´ ee :
ψ(r, θ ) = 2D
�
r Logr −
r
2
+
1
2 r
�
sin θ
Comme on peut le voir ∀D il est impossible de raccorder la solution `
a la condition
`
a l’infini : c’est le paradoxe de Stokes.
On peut montrer que loin du cylindre, lorsque r ≈ 1/Re, la solution doit ˆ
etre
remplac´ ee par la solution d’Oseen :
ψ(r, θ ) = r sin θ
11.1.6.3 Mod` ele de Fluide Parfait
Soit le potentiel complexe :
f (z) = V 0
�
z +
1
z
�