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11 Multiphysique
m
2 − n
2
= 0
soit m = ±n.
La solution sur g(θ ) avec ses conditions aux limites ´
etant triviale la solution sur
ψ s’´ ecrit alors
ψ(r, θ ) =
a r +
b
r
sin θ
en tenant compte des conditions aux limites sur le cylindre et `
a l’infini on trouve
a = 1 et b = −1 :
ψ(r, θ ) =
r −
1
r
sin θ
Solution sur p(r, θ )
Reprenons l’´ equation de Darcy :
−∇p −
μ
K
V = 0
Prenons la divergence de cette ´
equation. En tenant compte du fait que l’´ ecoulement
est incompressible on obtient :
∇
2 p = 0
L’´ equation sur la pression ´
etant la mˆ eme que pour la fonction de courant on a donc
la mˆ eme solution g´ en´ erale mais ici la pression est sym´ etrique par rapport `
a l’axe Ox
:
p(r, θ ) =
a r +
b
r
cos θ
Pour trouver a et b, on identifie la solution `
a l’´ equation de Darcy :
∂ p
∂ r
=
a −
b
r 2
cos θ = −
μ
K
V r
Comme on connait V r `
a partir de l’expression de ψ :
a −
b
r 2
cos θ = −
μ
K
1 −
1
r 2
cos θ
On trouve a = −μ/K et b = μ/K.
p(r, θ ) = −
μ
K
r +
1
r
cos θ