11.1 Sur une approche globale Navier-Stokes - Brinkman - Darcy
257
Pour un ´
ecoulement uniforme u = V 0 , v = 0 :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
V r =
1
r
∂ ψ
∂ θ
= V 0 cosθ
V θ = −
∂ ψ
∂ r
= −V 0 sinθ
L’int´ egration de chacune de ces ´
equations avec θ et r donne:
⎧
⎨
⎩
ψ(r, θ ) = V 0 r sinθ + f (r)
ψ(r, θ ) = V 0 r sinθ + g(θ )
Soit f = g = Cte, cette constante ´
etant choisie ´
egale `
a z´ ero sur l’axe (y=0).
D’o` u la condition `
a l’infini pour V 0 = 1 :
ψ(∞, θ ) = r sin θ
Solution sur ψ
La solution est recherch´ ee par la m´ ethode de s´ eparation des variables :
ψ(r, θ ) = f (r) g(θ )
On trouve
g(θ ) = sin θ
soit :
r
f (r)
d
d r
�
r
d f (r)
d r
�
= −
g �� (θ )
g(θ )
= n
2
deux fonctions de variables diff´ erentes ne peuvent ˆ
etre ´
egales qu’` a une constante, n
entier. Soit :
⎧
⎨
⎩
g �� − n 2 g = 0
r
d
d r
�
r
d f
d r
�
− n
2 f = 0
et l’´ equation sur f :
f
��
+
1
r
f
� −
n 2
r 2 f = 0
dont on recherche des solutions sous la forme
f (r) = r
m
257
Pour un ´
ecoulement uniforme u = V 0 , v = 0 :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
V r =
1
r
∂ ψ
∂ θ
= V 0 cosθ
V θ = −
∂ ψ
∂ r
= −V 0 sinθ
L’int´ egration de chacune de ces ´
equations avec θ et r donne:
⎧
⎨
⎩
ψ(r, θ ) = V 0 r sinθ + f (r)
ψ(r, θ ) = V 0 r sinθ + g(θ )
Soit f = g = Cte, cette constante ´
etant choisie ´
egale `
a z´ ero sur l’axe (y=0).
D’o` u la condition `
a l’infini pour V 0 = 1 :
ψ(∞, θ ) = r sin θ
Solution sur ψ
La solution est recherch´ ee par la m´ ethode de s´ eparation des variables :
ψ(r, θ ) = f (r) g(θ )
On trouve
g(θ ) = sin θ
soit :
r
f (r)
d
d r
�
r
d f (r)
d r
�
= −
g �� (θ )
g(θ )
= n
2
deux fonctions de variables diff´ erentes ne peuvent ˆ
etre ´
egales qu’` a une constante, n
entier. Soit :
⎧
⎨
⎩
g �� − n 2 g = 0
r
d
d r
�
r
d f
d r
�
− n
2 f = 0
et l’´ equation sur f :
f
��
+
1
r
f
� −
n 2
r 2 f = 0
dont on recherche des solutions sous la forme
f (r) = r
m