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11 Multiphysique
Fig. 11.6 Ecoulement autour d’un cylindre `
a section circulaire inclus dans un milieu poreux de
perm´ eabilit´ e constante; (r, θ ) est le syst` eme de coordonn´ ees polaires
ψ(r, θ ) =
∞
∑
n=0
Re
n
ψ
(n)
o` u les ψ (n) (r, θ ) sont des fonctions satisfaisant aux conditions aux limites.
Dans le cas pr´ esent le domaine est occup´ e par un milieu poreux et l’´ equation de
Darcy est seule repr´ esentative du ph´ enom` enes (Da → 0) :
−∇p −
μ
K
V = 0
Pour trouver sa formulation en terme de fonction de courant on prend le rotationnel
de cette ´
equation pour faire disparaitre la pression, on remplace V r et V θ par leur
expression respectives en fonction de ψ et on trouve en coordonn´ ees cylindriques:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∇ 2 ψ =
1
r
∂
∂ r
�
r
∂ ψ
∂ r
�
+
1
r 2
∂ 2 ψ
∂ θ 2 = 0
ψ(1, θ ) = 0
ψ(∞, θ ) = r sin θ
Les conditions aux limites sur les vitesses en coordonn´ ees cylindriques V r et V θ
sont obtenues en transformant les conditions aux limites sur les vitesses cart´ esiennes
(u = V O , v = 0).
En coordonn´ ees polaires les vitesses s’´ ecrivent en terme de fonction de courant
sous la forme :
V r =
1
r
∂ ψ
∂ θ
; V θ =
∂ ψ
∂ r
Le changement de syst` eme de coordonn´ ees (cart´ esien - polaire) s’´ ecrit :
� V r
V θ
�
=
� cosθ sinθ
−sinθ cosθ
�� u
v
�