11.1 Sur une approche globale Navier-Stokes - Brinkman - Darcy
255
Les conditions aux limites sont les suivantes :
• `
a gauche la vitesse constante V 0 y est impos´ ee
• `
a droite le fluide sort librement
• en haut et en bas des conditions de sym´ etrie : V · n = 0
• le cylindre est solide et fixe V = 0
Les diff´ erentes figures (Figs. 11.5) correspondent respectivement `
a :
• (a) - un ´
ecoulement cin´ ematiquement admissible satisfaisant uniquement aux
conditions aux limites et `
a la contrainte d’incompressibilit´ e,
La seule application des conditions aux limites et de la contrainte d’incompressibilit´ e ∇ · V = 0 permet d’obtenir un champ de vitesse coh´ erent mais ne satisfaisant `
a aucune ´
equation de conservation et le r´ esultat ne repr´ esente pas
une physique particuli` ere. Le fluide contourne l’obstacle simplement l’obstacle.
Comme aucun terme visqueux n’est introduit, la pression est nulle dans tout le
domaine. On note toutefois que le contournement de l’obstacle n’est pas naturel.
• (b) - l’´ ecoulement plan, irrotationnel, incompressible de fluide parfait,
L’approximation classique de fluide parfait avec la contrainte suppl´ ementaire
d’irrotationnalit´ e de l’´ ecoulement conduit comme attendu `
a une solution sym´ etrique suivant les deux axes passant par le centre du cylindre, sans recirculation.
La pression y est d´ efinie par l’´ equation de Bernouilli.
• (c) - l’´ ecoulement en milieu poreux correspondant `
a la loi de Darcy
• (d) - l’´ ecoulement en r´ egime de Stokes,
• (e) - l’´ ecoulement gouvern´ e par l’´ equation de Navier-Stokes `
a Re = 30,
11.1.6 Cas d’un ´
ecoulement autour d’un cylindre en milieu infini
11.1.6.1 Mod` ele de Darcy
Consid´ erons un cylindre de section circulaire de rayon R = 1 dans un milieu infini
(Fig. 11.6). La vitesse `
a l’infini est constante et ´
egale `
a V 0 = 1.
L’´ equation de Navier-Stokes-Darcy ´
ecrite sous forme adimensionnelle en termes
de fonction de courant s’´ ecrit :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1
Re
∇
4
ψ =
1
r
� ∂ ψ
∂ θ
∂
∂ r
−
∂ ψ
∂ r
∂
∂ θ
�
∇
2
ψ +
1
Re Da
∇
2
ψ
ψ(1, θ ) = 0
ψ(∞, θ ) = r sin θ
o` u Da = K/R 2 est le nombre de Darcy.
On cherche des solutions par la m´ ethode des d´ eveloppements asymptotiques :
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Les conditions aux limites sont les suivantes :
• `
a gauche la vitesse constante V 0 y est impos´ ee
• `
a droite le fluide sort librement
• en haut et en bas des conditions de sym´ etrie : V · n = 0
• le cylindre est solide et fixe V = 0
Les diff´ erentes figures (Figs. 11.5) correspondent respectivement `
a :
• (a) - un ´
ecoulement cin´ ematiquement admissible satisfaisant uniquement aux
conditions aux limites et `
a la contrainte d’incompressibilit´ e,
La seule application des conditions aux limites et de la contrainte d’incompressibilit´ e ∇ · V = 0 permet d’obtenir un champ de vitesse coh´ erent mais ne satisfaisant `
a aucune ´
equation de conservation et le r´ esultat ne repr´ esente pas
une physique particuli` ere. Le fluide contourne l’obstacle simplement l’obstacle.
Comme aucun terme visqueux n’est introduit, la pression est nulle dans tout le
domaine. On note toutefois que le contournement de l’obstacle n’est pas naturel.
• (b) - l’´ ecoulement plan, irrotationnel, incompressible de fluide parfait,
L’approximation classique de fluide parfait avec la contrainte suppl´ ementaire
d’irrotationnalit´ e de l’´ ecoulement conduit comme attendu `
a une solution sym´ etrique suivant les deux axes passant par le centre du cylindre, sans recirculation.
La pression y est d´ efinie par l’´ equation de Bernouilli.
• (c) - l’´ ecoulement en milieu poreux correspondant `
a la loi de Darcy
• (d) - l’´ ecoulement en r´ egime de Stokes,
• (e) - l’´ ecoulement gouvern´ e par l’´ equation de Navier-Stokes `
a Re = 30,
11.1.6 Cas d’un ´
ecoulement autour d’un cylindre en milieu infini
11.1.6.1 Mod` ele de Darcy
Consid´ erons un cylindre de section circulaire de rayon R = 1 dans un milieu infini
(Fig. 11.6). La vitesse `
a l’infini est constante et ´
egale `
a V 0 = 1.
L’´ equation de Navier-Stokes-Darcy ´
ecrite sous forme adimensionnelle en termes
de fonction de courant s’´ ecrit :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1
Re
∇
4
ψ =
1
r
� ∂ ψ
∂ θ
∂
∂ r
−
∂ ψ
∂ r
∂
∂ θ
�
∇
2
ψ +
1
Re Da
∇
2
ψ
ψ(1, θ ) = 0
ψ(∞, θ ) = r sin θ
o` u Da = K/R 2 est le nombre de Darcy.
On cherche des solutions par la m´ ethode des d´ eveloppements asymptotiques :