11.1 Sur une approche globale Navier-Stokes - Brinkman - Darcy
253
conforme `
a la discr´ etisation spatiale dans le domaine. La figure 11.3 montre les
´
evolutions des traˆ ın´ ees de pression et totale en fonction du nombre de Reynolds bas´ e
sur la vitesse de d´ ebit. Lorsque le nombre de Reynolds augmente au-del` a de l’unit´ e,
la traˆ ın´ ee de pression augmente alors que les effets visqueux diminuent relativement.
La traˆ ın´ ee totale calcul´ ee `
a l’aide de V /K est tr` es pr´ ecis´ ement ´
egale `
a l’unit´ e.
La somme des traˆ ın´ ees visqueuse et de pression, dans ce cas o` u la traˆ ın´ ee induite
est n´ egligeable, est ´
egale ´
evidemment au gradient de pression unitaire impos´ e par la
section de la cellule (unitaire aussi). Dans le cas d’une cellule anisotrope la m´ ethode
permettrait de calculer les portances visqueuses et de pression.
Fig. 11.4 Ecart `
a la loi de Darcy - Evolution du groupement Ko Re / K o` u Ko est la perm´ eabilit´ e
intrins` eque en r´ egime de Stokes.
La figure 11.4 donne un exemple de r´ esultat sous la forme d’un champ de pression obtenu pour un nombre de Reynolds de pression ´
egal `
a 80 et une inclusion
cylindrique de rayon 0.25. La vitesse dans l’inclusion pseudo-solide est de l’ordre
de 10 −20 alors que la vitesse moyenne de l’´ ecoulement est d’ordre un. Le champ de
pression dans l’inclusion est coh´ erent avec celui de l’´ ecoulement externe qui montre l’existence de zones de recirculations isobares dans la partie m´ ediane entre les
cylindres.
La r´ esolution simultan´ ee des ´
equations de Navier-Stokes dans le fluide et de
Brinkman dans l’obstacle solide permet le prolongement de la pression dans celuici. Cette m´ ethodologie peut aussi ˆ
etre utilis´ ee avec des ´
equations d’Euler ou de
Stokes r´ esolues sur des sous-domaines diff´ erents par des m´ ethodes locales ou multidomaines. Les applications potentielles de la d´ etermination de la pression dans les
obstacles sont nombreuses: traˆ ın´ ee et portance de profils, interactions entre particules, etc... La r´ esolution num´ erique coupl´ ee des ´
equations comporte aussi quelques
avantages tels que la pr´ ecision ou la continuit´ e de toutes les variables du probl` eme.
253
conforme `
a la discr´ etisation spatiale dans le domaine. La figure 11.3 montre les
´
evolutions des traˆ ın´ ees de pression et totale en fonction du nombre de Reynolds bas´ e
sur la vitesse de d´ ebit. Lorsque le nombre de Reynolds augmente au-del` a de l’unit´ e,
la traˆ ın´ ee de pression augmente alors que les effets visqueux diminuent relativement.
La traˆ ın´ ee totale calcul´ ee `
a l’aide de V /K est tr` es pr´ ecis´ ement ´
egale `
a l’unit´ e.
La somme des traˆ ın´ ees visqueuse et de pression, dans ce cas o` u la traˆ ın´ ee induite
est n´ egligeable, est ´
egale ´
evidemment au gradient de pression unitaire impos´ e par la
section de la cellule (unitaire aussi). Dans le cas d’une cellule anisotrope la m´ ethode
permettrait de calculer les portances visqueuses et de pression.
Fig. 11.4 Ecart `
a la loi de Darcy - Evolution du groupement Ko Re / K o` u Ko est la perm´ eabilit´ e
intrins` eque en r´ egime de Stokes.
La figure 11.4 donne un exemple de r´ esultat sous la forme d’un champ de pression obtenu pour un nombre de Reynolds de pression ´
egal `
a 80 et une inclusion
cylindrique de rayon 0.25. La vitesse dans l’inclusion pseudo-solide est de l’ordre
de 10 −20 alors que la vitesse moyenne de l’´ ecoulement est d’ordre un. Le champ de
pression dans l’inclusion est coh´ erent avec celui de l’´ ecoulement externe qui montre l’existence de zones de recirculations isobares dans la partie m´ ediane entre les
cylindres.
La r´ esolution simultan´ ee des ´
equations de Navier-Stokes dans le fluide et de
Brinkman dans l’obstacle solide permet le prolongement de la pression dans celuici. Cette m´ ethodologie peut aussi ˆ
etre utilis´ ee avec des ´
equations d’Euler ou de
Stokes r´ esolues sur des sous-domaines diff´ erents par des m´ ethodes locales ou multidomaines. Les applications potentielles de la d´ etermination de la pression dans les
obstacles sont nombreuses: traˆ ın´ ee et portance de profils, interactions entre particules, etc... La r´ esolution num´ erique coupl´ ee des ´
equations comporte aussi quelques
avantages tels que la pr´ ecision ou la continuit´ e de toutes les variables du probl` eme.