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11 Multiphysique
esp` ece, solide ou fluide, prennent les propri´ et´ es: masse volumique, perm´ eabilit´ e,
etc...du sous-domaine correspondant.
L’algorithme de r´ esolution simultan´ ee des composantes de la vitesse et de la
pression est une m´ ethode de Lagrangien Augment´ e correspondant au traitement implicite de la m´ ethode classique de compressibilit´ e artificielle (Fortin et al. 1982).
Cette m´ ethode conduit `
a un syst` eme lin´ eaire coupl´ e dont les inconnues sont les
composantes (u, v, w) de la vitesse V. La r´ esolution de celui-ci est effectu´ ee par
la m´ ethode de gradient conjugu´ e Bi-CGSTAB (Van Der Vorst et al. 1990) pr´ econditionn´ e par une factorisation incompl` ete de Gauss.
On montre la validit´ e et l’efficacit´ e de la m´ ethodologie propos´ ee sur un cas test
´
etudi´ e qui a fait l’objet de nombreux travaux, dans le cadre de l’homog´ en´ eisation:
il s’agit d’un ´
ecoulement incompressible, p´ eriodique dans une cellule ´
el´ ementaire
carr´ ee.
Le probl` eme consiste `
a d´ ecomposer la pression en une partie lin´ eaire et une perturbation de pression p´ eriodique : p = ¯
p + �∇p� · x
L’homog´ en´ eisation des ´
equations de Navier-Stokes conduit `
a la d´ etermination
d’un pseudo-tenseur de perm´ eabilit´ e, d´ ependant du nombre de Reynolds et non
sym´ etrique dans le cas g´ en´ eral.
Les calculs ont ´
et´ e effectu´ es sur un r´ eseau `
a mailles carr´ ees et pour une inclusion
cylindrique de rayon ´
egal `
a 0.25. Dans un premier temps l’influence du nombre
de Reynolds sur la perm´ eabilit´ e a ´
et´ e ´
etudi´ ee; elle est en tr` es bon accord avec les
r´ esultats obtenus ant´ erieurement.
Fig. 11.3 Ecart `
a la loi de Darcy - Evolution du groupement Ko Re / K o` u Ko est la perm´ eabilit´ e
intrins` eque en r´ egime de Stokes.
Avec la m´ ethodologie num´ erique mise au point, le calcul de la traˆ ın´ ee totale et de
la traˆ ın´ ee de pression ne pose aucune difficult´ e et ne n´ ecessite aucune extrapolation
de la pression ou des gradients de vitesse `
a l’interface. Elle est de plus tout `
a fait
11 Multiphysique
esp` ece, solide ou fluide, prennent les propri´ et´ es: masse volumique, perm´ eabilit´ e,
etc...du sous-domaine correspondant.
L’algorithme de r´ esolution simultan´ ee des composantes de la vitesse et de la
pression est une m´ ethode de Lagrangien Augment´ e correspondant au traitement implicite de la m´ ethode classique de compressibilit´ e artificielle (Fortin et al. 1982).
Cette m´ ethode conduit `
a un syst` eme lin´ eaire coupl´ e dont les inconnues sont les
composantes (u, v, w) de la vitesse V. La r´ esolution de celui-ci est effectu´ ee par
la m´ ethode de gradient conjugu´ e Bi-CGSTAB (Van Der Vorst et al. 1990) pr´ econditionn´ e par une factorisation incompl` ete de Gauss.
On montre la validit´ e et l’efficacit´ e de la m´ ethodologie propos´ ee sur un cas test
´
etudi´ e qui a fait l’objet de nombreux travaux, dans le cadre de l’homog´ en´ eisation:
il s’agit d’un ´
ecoulement incompressible, p´ eriodique dans une cellule ´
el´ ementaire
carr´ ee.
Le probl` eme consiste `
a d´ ecomposer la pression en une partie lin´ eaire et une perturbation de pression p´ eriodique : p = ¯
p + �∇p� · x
L’homog´ en´ eisation des ´
equations de Navier-Stokes conduit `
a la d´ etermination
d’un pseudo-tenseur de perm´ eabilit´ e, d´ ependant du nombre de Reynolds et non
sym´ etrique dans le cas g´ en´ eral.
Les calculs ont ´
et´ e effectu´ es sur un r´ eseau `
a mailles carr´ ees et pour une inclusion
cylindrique de rayon ´
egal `
a 0.25. Dans un premier temps l’influence du nombre
de Reynolds sur la perm´ eabilit´ e a ´
et´ e ´
etudi´ ee; elle est en tr` es bon accord avec les
r´ esultats obtenus ant´ erieurement.
Fig. 11.3 Ecart `
a la loi de Darcy - Evolution du groupement Ko Re / K o` u Ko est la perm´ eabilit´ e
intrins` eque en r´ egime de Stokes.
Avec la m´ ethodologie num´ erique mise au point, le calcul de la traˆ ın´ ee totale et de
la traˆ ın´ ee de pression ne pose aucune difficult´ e et ne n´ ecessite aucune extrapolation
de la pression ou des gradients de vitesse `
a l’interface. Elle est de plus tout `
a fait