11.1 Sur une approche globale Navier-Stokes - Brinkman - Darcy
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o` u Da = K 0 /L 2 est le nombre de Darcy traduisant les effets visqueux de Brinkman
par rapport aux effets de traˆ ın´ ee de Darcy. Il est `
a noter que lorsque le nombre de
Darcy tend vers z´ ero, la derni` ere ´
equation d´ eg´ en` ere vers la loi de Darcy.
La r´ esolution de l’´ equation de Navier-Stokes avec la contrainte d’incompressibilit´ e
permet de trouver les champs de pression et de vitesses en tenant compte des conditions aux limites ad´ equates sur le domaine . Si l’obstacle est solide la condition est
l’adh´ erence `
a la paroi; si, par contre, l’obstacle est de forte perm´ eabilit´ e, la condition `
a la limite traduit la continuit´ e des contraintes normale et tangentielle et de la
pression `
a l’interface.
11.1.3 Conditions de raccordement et conditions aux limites
L’avantage de repr´ esenter tous les ´
ecoulements par une ´
equation du mouvement
unique est la non n´ ecessit´ e d’´ ecrire explicitement des conditions aux limites entre
les diff´ erentes r´ egions fluide-poreux-solides.
Fig. 11.2 Lignes de courant pour un ´
ecoulement dans et autour d’un cylindre poreux ( K = 2 10 −6
) pour un nombre de Reynolds de 30.
Implicitement ce sont des conditions de raccordement de la vitesse et des contraintes qui sont adopt´ ees. Pour les zones solides la p´ enalisation avec la perm´ eabilit´ e
qui tend vers z´ ero (num´ eriquement K ∝ 10 −50 par exemple) permet d’obtenir une
vitesse qui vers vers z´ ero comme K.
On remarque notamment que la recirculation pr´ esente pour un cylindre solide
disparaˆ ıt ici `
a cause de l’´ ecoulement du fluide `
a l’int´ erieur de l’obstacle poreux
(Fig. 11.2).
11.1.4 Cas de l’homog´ en´ eisation sur une cellule p´ eriodique
La simulation num´ erique est effectu´ ee par une m´ ethode de volumes finis sur un
maillage cart´ esien et d´ ecal´ e en vitesse-pression. L’obstacle est alors approch´ e par
une succession de mailles rectangulaires. Les volumes de contrˆ ole d’une seule
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o` u Da = K 0 /L 2 est le nombre de Darcy traduisant les effets visqueux de Brinkman
par rapport aux effets de traˆ ın´ ee de Darcy. Il est `
a noter que lorsque le nombre de
Darcy tend vers z´ ero, la derni` ere ´
equation d´ eg´ en` ere vers la loi de Darcy.
La r´ esolution de l’´ equation de Navier-Stokes avec la contrainte d’incompressibilit´ e
permet de trouver les champs de pression et de vitesses en tenant compte des conditions aux limites ad´ equates sur le domaine . Si l’obstacle est solide la condition est
l’adh´ erence `
a la paroi; si, par contre, l’obstacle est de forte perm´ eabilit´ e, la condition `
a la limite traduit la continuit´ e des contraintes normale et tangentielle et de la
pression `
a l’interface.
11.1.3 Conditions de raccordement et conditions aux limites
L’avantage de repr´ esenter tous les ´
ecoulements par une ´
equation du mouvement
unique est la non n´ ecessit´ e d’´ ecrire explicitement des conditions aux limites entre
les diff´ erentes r´ egions fluide-poreux-solides.
Fig. 11.2 Lignes de courant pour un ´
ecoulement dans et autour d’un cylindre poreux ( K = 2 10 −6
) pour un nombre de Reynolds de 30.
Implicitement ce sont des conditions de raccordement de la vitesse et des contraintes qui sont adopt´ ees. Pour les zones solides la p´ enalisation avec la perm´ eabilit´ e
qui tend vers z´ ero (num´ eriquement K ∝ 10 −50 par exemple) permet d’obtenir une
vitesse qui vers vers z´ ero comme K.
On remarque notamment que la recirculation pr´ esente pour un cylindre solide
disparaˆ ıt ici `
a cause de l’´ ecoulement du fluide `
a l’int´ erieur de l’obstacle poreux
(Fig. 11.2).
11.1.4 Cas de l’homog´ en´ eisation sur une cellule p´ eriodique
La simulation num´ erique est effectu´ ee par une m´ ethode de volumes finis sur un
maillage cart´ esien et d´ ecal´ e en vitesse-pression. L’obstacle est alors approch´ e par
une succession de mailles rectangulaires. Les volumes de contrˆ ole d’une seule