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11 Multiphysique
F =
3πε
δ 2
���
Ω
μVdv
Il est possible d’identifier alors le groupement devant l’int´ egrale `
a la perm´ eabilit´ e
du milieu poreux: K ≈ δ 2 /(3 πε). Lorsque la distance entre particules tend vers
z´ ero `
a ε constant, le comportement de cet agr´ egat tend, comme le carr´ e de la distance inter-particules, vers celui du solide . La vitesse au sein de cet ensemble de
particules tend aussi vers z´ ero, notamment `
a la fronti` ere v´ erifiant ainsi la condition
d’adh´ erence `
a la paroi. L’´ ecoulement externe devient compl` etement ind´ ependant de
la structure et des variables internes de l’agr´ egat.
La quantit´ e d’acc´ el´ eration de cet ensemble de particules fixes ´
etant nulle, le
principe de la dynamique s’´ ecrit:
−
���
Ω p
μ
K
Vdv +
��
Σ
T ds = 0
En exprimant la contrainte, on aboutit `
a la loi locale de Brinkman. Les conditions
aux limites `
a l’interface entre l’´ ecoulement de fluide pur et l’´ ecoulement interne `
a
l’amas sont des conditions de raccordement de la pression et des contraintes normale
et tangentielle. Les efforts visqueux ou de pression peuvent ainsi ˆ
etre calcul´ es `
a
l’int´ erieur du domaine.
Les contributions de la pression et des tensions visqueuses sur la traˆ ın´ ee totale
peuvent, `
a l’aide de la m´ ethode pr´ esent´ ee, ˆ
etre ´
evalu´ ees ais´ ement soit par int´ egration
sur la surface de l’obstacle, soit, en utilisant le th´ eor` eme de la divergence, sur le volume de celui-ci. Cette derni` ere forme permet une ´
evaluation pr´ ecise de la contrainte
adimensionnelle totale:
F t = F p + F v =
���
Ω p
V
Re Da K
dv = −
���
Ω p
∇p dv +
���
Ω p
1
Re
∇
2
Vdv
Chacune de ces int´ egrales peut-ˆ etre ´
evalu´ ee ais´ ement et pr´ ecis´ ement. Dans la
premi` ere int´ egrale, la vitesse et la perm´ eabilit´ e tendent simultan´ ement vers z´ ero
mais le rapport reste parfaitement d´ etermin´ e et d’ordre un. Il est `
a remarquer
l’int´ egrale du gradient de pression dans le compl´ ementaire de Ω p donne la traˆ ın´ ee
visqueuse.
L’objectif de cette ´
etude est la r´ esolution simultan´ ee des ´
equations de NavierStokes dans le fluide et de la loi de Brinkman dans le milieu poreux pseudo-solide.
Le syst` eme d’´ equations correspondant s’´ ecrit:
V
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∇ · V = 0 dans Ω p ∪ Ω
∂ V
∂t
+ V · ∇V −
1
Re
∇
2
V + ∇p = 0 dans Ω f
1
Re Da
V
K
−
1
Re
∇
2
V + ∇p = 0 dans Ω p
11 Multiphysique
F =
3πε
δ 2
���
Ω
μVdv
Il est possible d’identifier alors le groupement devant l’int´ egrale `
a la perm´ eabilit´ e
du milieu poreux: K ≈ δ 2 /(3 πε). Lorsque la distance entre particules tend vers
z´ ero `
a ε constant, le comportement de cet agr´ egat tend, comme le carr´ e de la distance inter-particules, vers celui du solide . La vitesse au sein de cet ensemble de
particules tend aussi vers z´ ero, notamment `
a la fronti` ere v´ erifiant ainsi la condition
d’adh´ erence `
a la paroi. L’´ ecoulement externe devient compl` etement ind´ ependant de
la structure et des variables internes de l’agr´ egat.
La quantit´ e d’acc´ el´ eration de cet ensemble de particules fixes ´
etant nulle, le
principe de la dynamique s’´ ecrit:
−
���
Ω p
μ
K
Vdv +
��
Σ
T ds = 0
En exprimant la contrainte, on aboutit `
a la loi locale de Brinkman. Les conditions
aux limites `
a l’interface entre l’´ ecoulement de fluide pur et l’´ ecoulement interne `
a
l’amas sont des conditions de raccordement de la pression et des contraintes normale
et tangentielle. Les efforts visqueux ou de pression peuvent ainsi ˆ
etre calcul´ es `
a
l’int´ erieur du domaine.
Les contributions de la pression et des tensions visqueuses sur la traˆ ın´ ee totale
peuvent, `
a l’aide de la m´ ethode pr´ esent´ ee, ˆ
etre ´
evalu´ ees ais´ ement soit par int´ egration
sur la surface de l’obstacle, soit, en utilisant le th´ eor` eme de la divergence, sur le volume de celui-ci. Cette derni` ere forme permet une ´
evaluation pr´ ecise de la contrainte
adimensionnelle totale:
F t = F p + F v =
���
Ω p
V
Re Da K
dv = −
���
Ω p
∇p dv +
���
Ω p
1
Re
∇
2
Vdv
Chacune de ces int´ egrales peut-ˆ etre ´
evalu´ ee ais´ ement et pr´ ecis´ ement. Dans la
premi` ere int´ egrale, la vitesse et la perm´ eabilit´ e tendent simultan´ ement vers z´ ero
mais le rapport reste parfaitement d´ etermin´ e et d’ordre un. Il est `
a remarquer
l’int´ egrale du gradient de pression dans le compl´ ementaire de Ω p donne la traˆ ın´ ee
visqueuse.
L’objectif de cette ´
etude est la r´ esolution simultan´ ee des ´
equations de NavierStokes dans le fluide et de la loi de Brinkman dans le milieu poreux pseudo-solide.
Le syst` eme d’´ equations correspondant s’´ ecrit:
V
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∇ · V = 0 dans Ω p ∪ Ω
∂ V
∂t
+ V · ∇V −
1
Re
∇
2
V + ∇p = 0 dans Ω f
1
Re Da
V
K
−
1
Re
∇
2
V + ∇p = 0 dans Ω p