11.1 Sur une approche globale Navier-Stokes - Brinkman - Darcy
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restant dans cette hypoth` ese, le rapprochement des particules permet de faire tendre le comportement de ce fluide vers celui du solide; le param` etre ind´ ependant
contrˆ olant l’´ evolution vers le solide est la perm´ eabilit´ e K.
Une autre approche est propos´ ee: elle consiste `
a trouver la solution globale,
vitesses et pression, dans un syst` eme composite fluide-solide, en r´ esolvant l’´ equation
de Navier-Stokes dans la zone fluide et l’´ equation de Brinkman dans le milieu
poreux dont la perm´ eabilit´ e tend vers z´ ero. De la connaissance des champs de
pression et de vitesses dans l’obstacle, il est alors ais´ e de d´ eterminer les forces appliqu´ ees sur sa fronti` ere par le fluide ext´ erieur.
L’application de cette m´ ethode est effectu´ ee sur un probl` eme d’homog´ en´ eisation
classique sur une cellule ´
el´ ementaire; l’objet est entre autres de calculer le tenseur
de perm´ eabilit´ e et d’´ evaluer les diff´ erentes composantes de la traˆ ın´ ee des particules
solides dans un volume ´
el´ ementaire repr´ esentatif.
Consid´ erons un ´
ecoulement p´ eriodique incompressible de fluide newtonien dans
un r´ eseau repr´ esentant un milieu poreux mod` ele. La cellule de base de longueur caract´ eristique L contient un obstacle immobile repr´ esent´ e par un volume de contrˆ ole
Ω p limit´ e par une surface Σ munie d’un vecteur normal unitaire ext´ erieur n (Fig. 11.1).
Le fluide de viscosit´ e μ et de masse volumique ρ sature compl` etement le milieu
poreux. La mod´ elisation de ce probl` eme est effectu´ ee de la mani` ere suivante:
Fig. 11.1 Sch´ ematisation d’une cellule ´
el´ ementaire et d’un amas de particule solide de petites
dimensions devant leur distances pour mod´ eliser la pr´ esence d’un milieu poreux fictif repr´ esent´ e
par un terme de Darcy dans l’´ equation du mouvement
L’obstacle est constitu´ e par un ensemble de particules de diam` etre d et distantes
d’une longueur δ avec ε = d/δ 1. L’´ ecoulement dans un tel milieu est repr´ esent´ e
par une loi de Brinkman. Chaque particule produit sur le fluide une traˆ ın´ ee qui peutˆ
etre calcul´ ee dans l’hypoth` ese de Stokes ( Re = ρdV 0 /μ o` u V 0 est la vitesse en
amont de chacune des particules). Par exemple s’il s’agit de particules sph´ eriques,
la particule exerce une force ´
egale `
a F = 3 π μV 0 d. Il est alors possible de d´ efinir
une force volumique ´
egale `
a f = 3 π μV 0 d/δ 3 .
La force appliqu´ ee par cet amas de particules sur le fluide est alors:
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restant dans cette hypoth` ese, le rapprochement des particules permet de faire tendre le comportement de ce fluide vers celui du solide; le param` etre ind´ ependant
contrˆ olant l’´ evolution vers le solide est la perm´ eabilit´ e K.
Une autre approche est propos´ ee: elle consiste `
a trouver la solution globale,
vitesses et pression, dans un syst` eme composite fluide-solide, en r´ esolvant l’´ equation
de Navier-Stokes dans la zone fluide et l’´ equation de Brinkman dans le milieu
poreux dont la perm´ eabilit´ e tend vers z´ ero. De la connaissance des champs de
pression et de vitesses dans l’obstacle, il est alors ais´ e de d´ eterminer les forces appliqu´ ees sur sa fronti` ere par le fluide ext´ erieur.
L’application de cette m´ ethode est effectu´ ee sur un probl` eme d’homog´ en´ eisation
classique sur une cellule ´
el´ ementaire; l’objet est entre autres de calculer le tenseur
de perm´ eabilit´ e et d’´ evaluer les diff´ erentes composantes de la traˆ ın´ ee des particules
solides dans un volume ´
el´ ementaire repr´ esentatif.
Consid´ erons un ´
ecoulement p´ eriodique incompressible de fluide newtonien dans
un r´ eseau repr´ esentant un milieu poreux mod` ele. La cellule de base de longueur caract´ eristique L contient un obstacle immobile repr´ esent´ e par un volume de contrˆ ole
Ω p limit´ e par une surface Σ munie d’un vecteur normal unitaire ext´ erieur n (Fig. 11.1).
Le fluide de viscosit´ e μ et de masse volumique ρ sature compl` etement le milieu
poreux. La mod´ elisation de ce probl` eme est effectu´ ee de la mani` ere suivante:
Fig. 11.1 Sch´ ematisation d’une cellule ´
el´ ementaire et d’un amas de particule solide de petites
dimensions devant leur distances pour mod´ eliser la pr´ esence d’un milieu poreux fictif repr´ esent´ e
par un terme de Darcy dans l’´ equation du mouvement
L’obstacle est constitu´ e par un ensemble de particules de diam` etre d et distantes
d’une longueur δ avec ε = d/δ 1. L’´ ecoulement dans un tel milieu est repr´ esent´ e
par une loi de Brinkman. Chaque particule produit sur le fluide une traˆ ın´ ee qui peutˆ
etre calcul´ ee dans l’hypoth` ese de Stokes ( Re = ρdV 0 /μ o` u V 0 est la vitesse en
amont de chacune des particules). Par exemple s’il s’agit de particules sph´ eriques,
la particule exerce une force ´
egale `
a F = 3 π μV 0 d. Il est alors possible de d´ efinir
une force volumique ´
egale `
a f = 3 π μV 0 d/δ 3 .
La force appliqu´ ee par cet amas de particules sur le fluide est alors: