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11 Multiphysique
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
d V
d t
+ ρ∇ · V = 0
ρ
� ∂ V
∂t
+ V · ∇V
�
= −∇p + ρ g + ∇ · (μ (∇V + ∇ t V)) −
μ
K
V +
β ρ
√
K
�V�V − ∇ (λ ∇ · V)
ρ c p
� ∂ T
∂t
+ V · ∇T
�
= ∇ · (Λ ∇T ) − β T ∇ · V + q + Φ
Ce syst` eme d’´ equations permet de repr´ esenter l’´ ecoulement dans un fluide pur
(Navier-Stokes) en faisant tendre la perm´ eabilit´ e vers l’infini, l’´ ecoulement dans
un milieu poreux en adaptant la perm´ eabilit´ e K ou bien un solide V = 0 en
faisant tendre la perm´ eabilit´ e vers z´ ero. Cette derni` ere notion est d´ ecrite dans le
chapitre ´
equations de conservation : elle est bas´ ee sur l’introduction dans le fluide
de particules fixes de dimension d distantes d’une longueur caract´ eristique l avec
ε = l/d >> 1. Lorsque d tend vers z´ ero `
a ε constant, la perm´ eabilit´ e tend aussi vers
z´ ero.
Ce mod` ele global doit ˆ
etre utilis´ e avec pr´ ecaution; notamment on observe que
deux termes d’inertie incompatibles sont pr´ esents dans l’´ equation du mouvement.
Soit on est plutˆ ot en pr´ esence d’un fluide autour d’obstacles auquel cas il faut choisir
les termes inertiels de type Navier-Stokes ou bien l’´ ecoulement est plutˆ ot darc´ een et
on adoptera les termes de Forchheimer.
11.1.2 Justification du mod` ele propos´ e
L’´ ecoulement d’un fluide visqueux autour d’un obstacle ou d’un profil est g´ en´ eralement obtenu par la r´ esolution des ´
equations de Navier-Stokes et des conditions aux
limites traduisant l’adh´ erence du fluide sur la surface sans n´ ecessit´ e de connaˆ ıtre les
propri´ et´ es physiques de ce corps. On suppose g´ en´ eralement que le profil est rigide
et ind´ eformable. La connaissance du champ de vitesse autour d’un obstacle solide
permet de calculer la force exerc´ ee par l’´ ecoulement du fluide visqueux sur celui-ci.
La d´ etermination num´ erique de cette force reste toutefois peu pr´ ecise puisqu’elle
fait intervenir la r´ epartition de la pression et les gradients de vitesse `
a la surface de
l’obstacle.
L’id´ ee propos´ ee ici consiste `
a affecter `
a l’obstacle des propri´ et´ es particuli` eres
sauvegardant bien entendu l’adh´ erence du fluide visqueux `
a la paroi. La notion de
pression dans le solide peut permettre d’am´ eliorer l’´ evaluation de l’action du fluide
sur celui-ci et de calculer toutes les composantes de la traˆ ın´ ee et de la portance.
L’introduction d’un terme de traˆ ın´ ee volumique de type Darcy dans l’´ equation
de Navier-Stokes permet de rendre compte des ´
ecoulements de fluide dans des
syst` emes mixtes fluide-poreux. Cette ´
equation du mouvement de type NavierStokes-Brinkman repr´ esente en fait l’´ ecoulement d’un fluide fictif compos´ e d’un
fluide newtonien parsem´ e de particules solides, fixes, dont le diam` etre est d’ordre
de grandeur tr` es inf´ erieur `
a la distance entre les particules (Levy 1981). Tout en
11 Multiphysique
⎧
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d V
d t
+ ρ∇ · V = 0
ρ
� ∂ V
∂t
+ V · ∇V
�
= −∇p + ρ g + ∇ · (μ (∇V + ∇ t V)) −
μ
K
V +
β ρ
√
K
�V�V − ∇ (λ ∇ · V)
ρ c p
� ∂ T
∂t
+ V · ∇T
�
= ∇ · (Λ ∇T ) − β T ∇ · V + q + Φ
Ce syst` eme d’´ equations permet de repr´ esenter l’´ ecoulement dans un fluide pur
(Navier-Stokes) en faisant tendre la perm´ eabilit´ e vers l’infini, l’´ ecoulement dans
un milieu poreux en adaptant la perm´ eabilit´ e K ou bien un solide V = 0 en
faisant tendre la perm´ eabilit´ e vers z´ ero. Cette derni` ere notion est d´ ecrite dans le
chapitre ´
equations de conservation : elle est bas´ ee sur l’introduction dans le fluide
de particules fixes de dimension d distantes d’une longueur caract´ eristique l avec
ε = l/d >> 1. Lorsque d tend vers z´ ero `
a ε constant, la perm´ eabilit´ e tend aussi vers
z´ ero.
Ce mod` ele global doit ˆ
etre utilis´ e avec pr´ ecaution; notamment on observe que
deux termes d’inertie incompatibles sont pr´ esents dans l’´ equation du mouvement.
Soit on est plutˆ ot en pr´ esence d’un fluide autour d’obstacles auquel cas il faut choisir
les termes inertiels de type Navier-Stokes ou bien l’´ ecoulement est plutˆ ot darc´ een et
on adoptera les termes de Forchheimer.
11.1.2 Justification du mod` ele propos´ e
L’´ ecoulement d’un fluide visqueux autour d’un obstacle ou d’un profil est g´ en´ eralement obtenu par la r´ esolution des ´
equations de Navier-Stokes et des conditions aux
limites traduisant l’adh´ erence du fluide sur la surface sans n´ ecessit´ e de connaˆ ıtre les
propri´ et´ es physiques de ce corps. On suppose g´ en´ eralement que le profil est rigide
et ind´ eformable. La connaissance du champ de vitesse autour d’un obstacle solide
permet de calculer la force exerc´ ee par l’´ ecoulement du fluide visqueux sur celui-ci.
La d´ etermination num´ erique de cette force reste toutefois peu pr´ ecise puisqu’elle
fait intervenir la r´ epartition de la pression et les gradients de vitesse `
a la surface de
l’obstacle.
L’id´ ee propos´ ee ici consiste `
a affecter `
a l’obstacle des propri´ et´ es particuli` eres
sauvegardant bien entendu l’adh´ erence du fluide visqueux `
a la paroi. La notion de
pression dans le solide peut permettre d’am´ eliorer l’´ evaluation de l’action du fluide
sur celui-ci et de calculer toutes les composantes de la traˆ ın´ ee et de la portance.
L’introduction d’un terme de traˆ ın´ ee volumique de type Darcy dans l’´ equation
de Navier-Stokes permet de rendre compte des ´
ecoulements de fluide dans des
syst` emes mixtes fluide-poreux. Cette ´
equation du mouvement de type NavierStokes-Brinkman repr´ esente en fait l’´ ecoulement d’un fluide fictif compos´ e d’un
fluide newtonien parsem´ e de particules solides, fixes, dont le diam` etre est d’ordre
de grandeur tr` es inf´ erieur `
a la distance entre les particules (Levy 1981). Tout en