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2 Equations de conservation
Dans le cas d’une diffusion des esp` eces mod´ elis´ ee par la loi de Fick, l’´ equation
de conservation de la masse pour le constituant i devient une ´
equation de transport
ou d’advection-diffusion :
∂ ρ i
∂t
+ ∇ · (ρ i V) − ∇ · (D i ∇ρ i ) = 0
Ici D i est un coefficient de diffusion du constituant i dans le m´ elange. Il est possible de d´ efinir plus pr´ ecis´ ement la diffusion entre esp` eces par un coefficient de diffusion D i j teanant compte de la nature mol´ eculaire des esp` eces (masse mol´ eculaire,
...). Dans ce cas l’´ equation de conservation de la masse du constituant i s’´ ecrit :
∂ ρ i
∂t
+ ∇ · (ρ i V) −
n
∑
j=1
∇ · (D i j ∇ρ j ) = 0
Cette approche commun´ ement utilis´ ee ne doit pas faire oublier que le ph´ enom` ene
de transport de mati` ere n’est pas de la diffusion brownienne isotrope mais correspond `
a une physique complexe o` u les propri´ et´ es mol´ eculaires, taille des mol´ ecules,
masse molaire, ... interviennent prioritairement.
Cette lin´ earit´ e, introduite couramment en thermodynamique des processus irr´ eversibles mais utilis´ ee depuis fort longtemps par Fourier et beaucoup d’autres ou
les flux sont cens´ es ˆ
etre proportionnels aux forces n’est qu’une simplification de
la r´ ealit´ e. Quand on ne se sait quoi faire de mieux on ´
ecrit des lois lin´ eaires et
ensuite on ajuste des coefficients que l’on nomme ph´ enom´ enologiques. Bien d’autres
domaines de la physique utilisent cette approche, par exemple en turbulence o` u la
loi de Boussinesq exprime les contraintes de Reynolds comme ´
etant proportionnelles
aux gradients de la vitesse moyenne.
Approche utilisant la concentration
On introduit la variable c appel´ ee concentration d´ efinie par c = ρ i /ρ o` u ρ est la
masse volumique du m´ elange. Si la surface de Ω est travers´ ee par un flux dˆ u aux
gradients de concentration, l’´ equation de conservation de la masse devient :
∂ ρ c
∂t
+ ∇ · (ρ c V) = −∇ · ϕ
ϕ repr´ esente ici le flux de masse `
a travers la surface Σ du domaine. On obtient ainsi
une ´
equation de transport classique en explicitant le flux `
a l’aide de la loi de Fick :
∂ ρ c
∂t
+ ∇ · (ρ c V) = ∇ · (ρ D∇c)
D’autres causes de dissociation ou de s´ eparation des esp` eces peuvent ˆ
etre observ´ ees par l’application de forces de nature diff´ erentes, la gravit´ e ou les effets
centrifuges ou bien un gradient de temp´ erature. On se reportera vers des ouvrages de Thermodynamique des Processus Irr´ eversibles pour la mod´ elisation de
2 Equations de conservation
Dans le cas d’une diffusion des esp` eces mod´ elis´ ee par la loi de Fick, l’´ equation
de conservation de la masse pour le constituant i devient une ´
equation de transport
ou d’advection-diffusion :
∂ ρ i
∂t
+ ∇ · (ρ i V) − ∇ · (D i ∇ρ i ) = 0
Ici D i est un coefficient de diffusion du constituant i dans le m´ elange. Il est possible de d´ efinir plus pr´ ecis´ ement la diffusion entre esp` eces par un coefficient de diffusion D i j teanant compte de la nature mol´ eculaire des esp` eces (masse mol´ eculaire,
...). Dans ce cas l’´ equation de conservation de la masse du constituant i s’´ ecrit :
∂ ρ i
∂t
+ ∇ · (ρ i V) −
n
∑
j=1
∇ · (D i j ∇ρ j ) = 0
Cette approche commun´ ement utilis´ ee ne doit pas faire oublier que le ph´ enom` ene
de transport de mati` ere n’est pas de la diffusion brownienne isotrope mais correspond `
a une physique complexe o` u les propri´ et´ es mol´ eculaires, taille des mol´ ecules,
masse molaire, ... interviennent prioritairement.
Cette lin´ earit´ e, introduite couramment en thermodynamique des processus irr´ eversibles mais utilis´ ee depuis fort longtemps par Fourier et beaucoup d’autres ou
les flux sont cens´ es ˆ
etre proportionnels aux forces n’est qu’une simplification de
la r´ ealit´ e. Quand on ne se sait quoi faire de mieux on ´
ecrit des lois lin´ eaires et
ensuite on ajuste des coefficients que l’on nomme ph´ enom´ enologiques. Bien d’autres
domaines de la physique utilisent cette approche, par exemple en turbulence o` u la
loi de Boussinesq exprime les contraintes de Reynolds comme ´
etant proportionnelles
aux gradients de la vitesse moyenne.
Approche utilisant la concentration
On introduit la variable c appel´ ee concentration d´ efinie par c = ρ i /ρ o` u ρ est la
masse volumique du m´ elange. Si la surface de Ω est travers´ ee par un flux dˆ u aux
gradients de concentration, l’´ equation de conservation de la masse devient :
∂ ρ c
∂t
+ ∇ · (ρ c V) = −∇ · ϕ
ϕ repr´ esente ici le flux de masse `
a travers la surface Σ du domaine. On obtient ainsi
une ´
equation de transport classique en explicitant le flux `
a l’aide de la loi de Fick :
∂ ρ c
∂t
+ ∇ · (ρ c V) = ∇ · (ρ D∇c)
D’autres causes de dissociation ou de s´ eparation des esp` eces peuvent ˆ
etre observ´ ees par l’application de forces de nature diff´ erentes, la gravit´ e ou les effets
centrifuges ou bien un gradient de temp´ erature. On se reportera vers des ouvrages de Thermodynamique des Processus Irr´ eversibles pour la mod´ elisation de