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10 Les ´
ecoulements compressibles
p 1 + ρ 1 V
2
1 = p 2 + ρ 2 V
2
2
r´ esultat qui aurait pu ˆ
etre obtenu par l’´ equation d’Euler.
Le premier principe de la thermodynamique s’exprime, en consid´ erant le choc
comme adiabatique, sous la forme :
V 2
1
2
+ h 1 =
V 2
2
2
+ h 2 = h i
Compte tenu des constantes de temps de la travers´ ee du choc par le fluide, les
ph´ enom` enes sont en effet sans ´
echange de chaleur avec le reste de l’´ ecoulement.
D’o` u le syst` eme d’´ equations :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ρ 1 V 1 = ρ 2 V 2
p 1 + ρ 1 V
2
1 = p 2 + ρ 2 V
2
2
V 2
1
2
+ h 1 =
V 2
2
2
+ h 2 = h i
Il est possible d’introduire le volume sp´ ecifique, inverse de la masse volumique
v = 1/ρ et l’´ energie interne e = h p v. Le syst` eme devient :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
V 1
v 1
=
V 2
v 2
p 2 − p 1 =
V 1
v 1
(V 1 −V 2 )
V 2
1
2
−
V 2
2
2
= (e 2 − e 1 ) + p 2 v 2 − p 1 v 1
En combinant ces ´
equations pour ´
eliminer les vitesses on obtient l’´ equation d’Hugoniot
ou de l’adiabatique dynamique
(p 1 + p 2 ) (v 1 − v 2 ) = 2 (e 2 − e 1 )
10.6.3 Onde de choc plane stationnaire pour un gaz parfait
Dans le cas particulier d’un gaz parfait l’´ energie interne a pour expression :
e = c v T =
c v
r
p v