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10 Les ´
ecoulements compressibles
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ρ c
ρ i
=
� γ + 1
2
M
2
� −γ/(γ−1)
c c
c i
=
� γ + 1
2
M
2
� −1/2
D’autre part
V
c i
=
V
c
c
c i
= M
�
1 +
γ − 1
2
M
2
� −1/2
que l’on peut ´
ecrire
S
S c
=
ρ c
ρ i
ρ i
ρ
c c
c i
c i
V
soit :
S
S c
=
� 2
γ + 1
� γ+1
2(γ−1) 1
M
�
1 +
γ − 1
2
M
2
� γ+1
2(γ−1)
• Variation de V
Avec V /c i c i /c c on a
¯
V =
V
c c
= M
�
�
�
�
γ+1
2
1 +
γ−1
2 M 2
Si M croit ind´ efiniment ¯
V tend vers
� (γ + 1)/(γ − 1) et V → c c
� (γ + 1)/(γ − 1) =
V lim
V lim =
�
γ + 1
γ − 1
c c =
�
2
γ − 1
c i =
� 2 c p T i
On dit que la d´ etente est compl` ete.
10.5.5 Cas limite de l’´ ecoulement incompressible
Si le nombre de Mach M est assez faible par rapport `
a l’unit´ e, les rapports pr´ ec´ edents
se simplifient. En remarquant que (1 − X) n = 1 − n X + O(X 2 ) et de mˆ eme (1 +
X) n = 1 + n X + O(X 2 ) il vient :