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10 Les ´
ecoulements compressibles
Ce th´ eor` eme dˆ u `
a Hugoniot montre aussi que le rapport V /c joue un rˆ ole important, le nombre de Mach M = V /c.
L’expos´ e qui pr´ ec` ede ne suppose que l’isentropie et la continuit´ e de l’´ ecoulement,
quel que soit le fluide consid´ er´ e, gaz parfait ou non.
10.5.4 D´ etente et compression continues isentropiques d’un gaz
parfait
Les relations pr´ ec´ edentes seront ici appliqu´ ees `
a un gaz calorifiquement parfait (γ et
c p constantes). L’air par exemple, aux temp´ eratures et aux pressions mod´ er´ ees peut
ˆ
etre consid´ er´ e comme un gaz parfait o` u γ = 1.4 et c p = 1000 J kg −1 K −1 .
Les relations thermodynamiques suivantes seront utilis´ ees pour aboutir `
a des expressions de la pression, de la masse volumique et de la temp´ erature en fonction du
nombre de Mach et de γ:
• ´
equation d’´ etat : p = ρ r T ,
• relation de Mayer : r = c p − c v ,
• enthalpie : h = c p T ,
• entropie : s = c p LogT − rLogp +Cte,
• entropie : s = c v Log(p ρ −γ ) +Cte,
• vitesse du son : c 2 = γ p/ρ = γ r T = h (γ − 1).
La conservation de l’´ energie conduit `
a l’´ equation de Saint-Venant. :
V
2
+ 2 c p T = V
2
+
2
γ − 1
c
2
= Cte
• a - La constante peut ˆ
etre calcul´ ee si l’´ etat est connu dans une tranche quelconque. Si l’´ etat g´ en´ erateur est donn´ e (V = 0) :
V
2
+
2
γ − 1
c
2
=
2
γ − 1
c
2
i = 2 c p T i
• b - Si l’´ etat critique est fix´ e on aurait de mˆ eme :
V
2
c +
2
γ − 1
c
2
c = c
2
c
1 +
2
γ − 1
= c
2
c
γ + 1
γ − 1
= Cte
soit
V
2
+
2
γ − 1
c
2
=
γ + 1
γ − 1
c
2
c = (γ + 1) c p T c +Cte
10.5.4.1 Variation des grandeurs caract´ eristiques
• Variation des vitesses du son et des temp´ eratures