10.5 Ecoulements monodimensionnels continus d’un fluide parfait
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h = h(p, ρ) qui peut ˆ
etre donn´ e soit explicitement soit num´ eriquement par un diagramme de Mollier (h, s).
10.5.3 Th´ eor` eme d’Hugoniot
La th´ eorie g´ en´ erale, compte tenu de ce qui pr´ ec` ede, nous fournit les deux relations :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dρ
ρ
+
dV
V
+
dS
S
= 0
V dV +
d p
ρ
= 0
La derni` ere ´
equation s’´ ecrit aussi :
V dV +
d p
dρ
dρ
ρ
= 0
et comme le ph´ enom` ene est isentropique, d p/dρ repr´ esente le carr´ e de la vitesse du
son :
c
2
=
� ∂ p
∂ ρ
�
s
=
d p
dρ
dV
V
�
1 −
V 2
c 2
�
+
dS
S
= 0
Cette relation indique comment varie la vitesse V lorsque l’aire S varie; on peut
distinguer plusieurs cas :
• V > c : on dit que l’´ ecoulement est supersonique. Le facteur de dV /V est n´ egatif;
par suite, si dS est positif il en est de mˆ eme de dV d’o` u le th´ eor` eme.
”Dans un ´
ecoulement supersonique, la vitesse varie dans le mˆ eme sens que l’aire
de la section droite de l’´ ecoulement.”
• V < c : on dit que l’´ ecoulement est subsonique
”Dans un ´
ecoulement subsonique la vitesse varie en sens inverse de l’aire de la
section droite de l’´ ecoulement”
• V = c
dS = 0 que dV soit positif ou n´ egatif : ”dans un ´
ecoulement sonique l’aire de la
section droite est stationnaire”. Cet extremum est un minimum, puisque d’apr` es ce
qui pr´ ec` ede on ne peut passer du subsonique au sonique ou du supersonique au
sonique qu’en diminuant la section. Notons que si dS = 0 et V � = c on a dV = 0
c’est `
a dire que la vitesse est stationnaire.