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10 Les ´
ecoulements compressibles
d p
p
= γ
dρ
ρ
soit, en int´ egrant le long d’une ligne de courant :
p ρ
−γ
= Cte
ou p = k � ρ −γ et k � > 0.
10.5.2 Equations fondamentales
Il est bien sˆ ur possible de reprendre les ´
equations g´ en´ erales pour les ´
ecoulements
continus et trouver les expressions valables pour le cas monodimensionnel et pour
un fluide parfait. Toutefois l’´ etablissement d’un bilan sur un ´
el´ ement de volume permet de bien comprendre la notion de conservation et la signification des diff´ erents
flux.
10.5.2.1 Conservation de la masse
Consid´ erons un tube de courant d’aire S(x) normale `
a la vitesse V . Le d´ ebit de
volume est ´
egal `
a V S et le d´ ebit masse est d´ efini par :
q m = ρ V S
q m est conservatif en r´ egime stationnaire.
Sous forme diff´ erentielle cette relation devient :
dρ
ρ
+
dV
V
+
dS
S
= 0
elle est valable uniquement si l’´ ecoulement est continu.
10.5.2.2 Equation d’Euler
Consid´ erons le volume fluide qui, `
a l’instant t, est compris entre les abscisses x et
x + dx; sa masse est ρ S dx (Fig. 10.3) Les forces ext´ erieures qui agissent sur ce
volume sont en l’absence de tout frottement et en raison de la continuit´ e :
• sur LL � la force de pression p S,
• sur MM � la force −(p S + d(pS),