10.4 Ecoulements de fluide parfait
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dre lorsque ce nombre tend vers z´ ero et o` u la contribution dynamique devient tr` es
inf´ erieure `
a la contribution dynamique.
A partir d’un d´ eveloppement asymptotique o` u le nombre de Mach joue le rˆ ole de
petit param` etre il est ais´ e d’aboutir `
a un syst` eme d’´ equations o` u la pression pr´ esente
dans l’´ equation de Navier-Stokes correspond `
a la seule dynamique. Ce syst` eme permet de consid´ erer des ´
ecoulements compressibles `
a masse volumique variable tant
que le nombre de Mach reste mod´ er´ e. Ce mod` ele est connu dans la litt´ erature sous
le vocable ”Low Mach Number”.
10.4 Ecoulements de fluide parfait
Nous allons maintenant examiner la forme des ´
equations de conservation lorsque
les effets de la viscosit´ e peuvent ˆ
etre n´ eglig´ es devant les effets de compressibilit´ e.
Comme la diffusion de la quantit´ e de mouvement est n´ eglig´ ee il en sera de mˆ eme
pour la diffusion de la chaleur. On supposera nul aussi la production volumique de
chaleur. Ces hypoth` eses sont g´ en´ eralement v´ erifi´ ees pour des ´
ecoulements de gaz
`
a grandes vitesses mais il conviendra de le v´ erifier aussi `
a posteriori. Les forces de
volume ne seront pas consid´ er´ ees dans l’´ equation de conservation de quantit´ e de
mouvement.
Les ´
equations de conservation deviennent alors :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dρ
dt
+ ρ ∇ · V = 0
ρ
dV
dt
= −∇p
ρ
dh
dt
=
d p
dt
h = f (p, ρ)
L’utilisation de l’enthalpie est justifi´ ee par les applications o` u l’enthalpie ou plutˆ ot
l’enthalpie g´ en´ eratrice reste constante pour un ´
ecoulement stationnaire. L’enthalpie
g´ en´ eratrice ou enthalpie d’arrˆ et s’´ ecrit :
h i = h +
V 2
2
L’´ equation sur l’enthalpie d’arrˆ et s’´ ecrit alors :
ρ
dh i
dt
=
∂ p
∂t