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10 Les ´
ecoulements compressibles
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ ρ
∂t
+ ∇ · (ρ V) = 0
∂ (ρV)
∂t
+ ∇ · (ρ V ⊗ V) = −∇P +
1
Re
∇ · τ
ρ
� ∂ T
∂t
+ V · ∇T
�
=
1
Re Pr
∇ · (k∇T ) +
1
E c
dP
dt
+
1
Re E c
Φ
L’int´ egration d’une ´
equation d’´ etat permettrait de simplifier un peu ce syst` eme
d’´ equations; par exemple pour un gaz parfait pour lequel on a p = ρ r T il vient
:
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ ρ
∂t
+ ∇ · (ρ V) = 0
∂ (ρV)
∂t
+ ∇ · (ρ V ⊗ V) = −∇P +
1
Re
∇ · τ
ρ
� ∂ T
∂t
+ V · ∇T
�
=
1
Re Pr
∇ · (k∇T ) +
γ − 1
γ
dP
dt
+
M 2
0 (γ − 1)
Re
τ : ∇V
avec la pression adimensionnelle P = ρ (1 + T ).
10.3 Ecoulements `
a faibles nombres de Mach
10.3.1 Mod` ele Bas Mach
Si on dissocie de la pression une contribution purement thermodynamique P m et une
pression dynamique p en ´
ecrivant P(x,t) = P m (t) + p(x,t) on a ainsi d´ efinit deux
pressions adimensionnelles :
⎧
⎨
⎩
P = P/P 0
p = (P − P m )/(ρ V
2
0 )
avec P 0 = Cte, une pression de r´ ef´ erence (` a l’infini par exemple), et on obtient alors
P =
M 2
0
γ
p +
P m
P 0
On distingue clairement le rˆ ole jou´ e par le nombre de Mach de r´ ef´ erence M 0 =
V 0 /c 0 = V 0 /
√ γ r T 0 pour les ´
ecoulement compressibles et les difficult´ es `
a atten-